Как записать предел на языке эпсилон дельта
Элементы числовой последовательности действительных чисел удобно изображать на числовой прямой, при этом они могут быть расположены на ней хаотично (не подчинено никакому закону или правилу) или как то упорядоченно.
Они могут стремиться к какому-то числу. Т.е. с возрастанием номера элемент становится все ближе и ближе к какому -то числу.
Определение:
Число А называется пределом числовой последовательности если для любого числа существует такой номер , зависящий от , что, начиная с этого номера все элементы последовательности удалены от А не более чем на (принадлежат -окрестности числа А). И обозначается
Замечание:
В математике общепринятыми считаются обозначения:
1) , заменяет словосочетание «для любого».
2) , заменяет слово «существует».
Определение (на языке « » (читается «на языке эпсилон-дельта»)):
Число А называется пределом числовой последовательности если :
Обозначается
Пример:
Доказать, что пределом последовательности при стремлении к бесконечности является 1.
Доказательство:
Доказать, что число является пределом последовательности означает указать закон, по которому, выбрав произвольное , можно найти номер, начиная с которого элементы последовательности будут лежать в -окрестности этого числа.
1. Итак, требуется выполнение неравенства
Подставим выражение для общего члена последовательности и значение предела из условия этой задачи
Т.к. (т.е. положительное), то можно раскрыть модуль
Выразим из полученного неравенства:
2.
Приравняем .
Полученное выражение и есть искомый закон, по которому, выбрав произвольное , можно найти номер, начиная с которого элементы последовательности будут лежать в -окрестности этого числа.
Давайте разберемся.
а) выбираем произвольное .
б) подставляем его в выражение (***) и находим значение .
в) для любого будет верно неравенство (**) потому, что правая часть неравенства (**) и есть значение, которое присвоено .
г) а неравенство (**) равносильно неравенству (*) (это оно же, только преобразованное), т.е. для любого числа можно указать такой номер , что, начиная с этого номера, все элементы последовательности удалены от 1 не более чем на , а значит 1 является пределом последовательности.
Пример:
Известно, что . Требуется найти для:
а)
б)
в)
Решение:
В предыдущем примере была найдена функциональная зависимость между и :
.
а) , , т.е. , начиная с 10-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,1.
Вычислим несколько значений элементов:
Отметим их на числовой оси. 
б) ,
т.е. , начиная с 100-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,01.
Рис.
в) ,
т.е. , начиная с 1000-го номера все элементы последовательности отстоят от 1 не более, чем на 0,001.
[Calculus | глава 7] Пределы, правило Лопиталя и эпсилон-дельта определение
Представляем вам седьмое видео из курса матанализа от 3Blue1Brown. В нём вы узнаете неожиданный и очень изящный способ вычислять пределы, в котором нам в очередной раз пригодятся производные, а также формальные определения производной и предела.
За выпуск благодарим:
Переводчика: Михаила Коротеева
Редактора: Николая Протасова
Диктора: Николая Протасова
Монтажера: Олега Жданова
Как же круто. Универ закончил давным-давно, забыл уже все, но послушать интересно.
[Calculus | глава 12] Другой способ визуализации производных
Представляем вашему вниманию завершающую главу сборника о матанализе от 3Blue1Brown. В нём вы узнаете о другом способе визуализации производных и о том, как это связано некоторыми другими математическими задачами.
За выпуск благодарим:
Переводчика: Михаила Коротеева
Редактора: Николая Протасова
Диктора: Михаила Коротеева
Монтажёра: Олега Жданова
P.S. Была проделана весьма объёмная и непростая работа при подготовке к выпускам видео для всего сезона. Каждый, кто принимал участие — вы большие молодцы!
[Calculus | главы 10, 11] Производные высших порядков и ряд Тейлора
Сегодня мы выпускаем целых два видео из цикла по математическому анализу от 3blue1brown!
Мы вам расскажем о производных высших порядков, как их представить, а также о невероятном способе их применить — о рядах Тейлора, которые используются для приближения значений функции.
За выпуск благодарим:
Переводчика: Михаила Коротеева
Редактора: Николая Протасова
Диктора: Николая Протасова
Монтажера: Олега Жданова
[Calculus | глава 8] Интегрирование и основная теорема матанализа
Что такое интеграл? Как считать площадь под графиком? Какое отношение к этому имеет производная?
Ответы на эти и многие другие вопросы вам покажет восьмой эпизод из цикла про матанализ от 3blue1brown: «Интегрирование и основная теорема матанализа»
За выпуск благодарим:
Переводчика: Михаила Коротеева
Редактора: Николая Протасова
Диктора: Николая Протасова
Монтажера: Олега Жданова
[Calculus | глава 6] Неявное дифференцирование — что здесь происходит?
У неявного дифференцирования свои правила.
Представляем перевод шестого видео про матанализ от 3blue1brown: «Неявное дифференцирование — что здесь происходит?»
За выпуск благодарим:
Переводчика: Михаила Коротеева
Редактора: Николая Протасова
Диктора: Николая Протасова
Монтажера: Олега Жданова
[Calculus | глава 5] Что особенного в числе Эйлера
Представляем новый перевод видео про матанализ от 3Blue1Brown — «Что особенного в числе Эйлера». Новая серия открывает долгожданную вторую часть курса матанализа от 3Blue1Brown.
За выпуск благодарим:
Переводчика: Михаила Коротеева
Редактора: Николая Протасова
Диктора: Николая Протасова
Монтажёра: Олега Жданова
[Calculus | глава 3] Формулы производных через геометрию
Почему производные вычисляются именно так? Самый наглядный способ понять это — нарисовать.
В третьем видео про матанализ речь пойдёт о том, как получить формулы производных через геометрию.
За выпуск благодарим:
Переводчика: Михаила Коротеева
Редактора: Константина Нагаева
Диктора: Михаила Коротеева
Монтажеров: Николая Протасова и Олега Жданова
[Calculus | глава 2] Парадокс производной
Производная — одно из базовых понятий матанализа, однако её определение часто остаётся для людей загадкой. Сегодня мы перевели второе видео про матанализ от 3blue1brown — про парадокс производной.
Традиционно благодарим за участие в выпуске:
Переводчика: Михаила Коротеева
Редактора: Дмитрия Сергеева
Диктора: Михаила Коротеева
Монтажеров: Николая Протасова и Олега Жданова
[Calculus | глава 1] Суть матанализа
Математический анализ является одним из важнейших разделов в математике. Мы открываем выпуск серии видео-лекций с канала 3Blue1Brown, посвященных матанализу.
В данном видео Грант Сандерсон рассказывает о сути математического анализа, раскрывая изящество математики на понятных примерах.
За участие в выпуске благодарим:
Переводчиков: Михаила Коротеева и Николая Протасова
Редактора: Ефима Мажника
Диктора: Михаила Коротеева
Монтажеров: Николая Протасова и Олега Жданова
Шутки про математику
Читает профессор лекцию по математической физике. Для упрощения записи вводит множество новых обозначений. Ближе к концу лекции ему понадобилось ввести еще одно. Он окидывает доску взглядом, задумывается на пару минут. и говорит: — Есть такая буква в грузинском алфавите.
Нейронные сети. Формулы обратного распространения
Представляем заключительную лекцию из курса по нейронным сетям от 3blue1brown. В этой лекции речь пойдет о формулах обратного распространения. Одной из важных тем, которая позволит разобраться с основными моментами дифференцирования сложных функций в контексте сетей.