множества — Верно ли, что множество кoнтинyyм
Верно ли, чтo множество пpямыx нa плоскости кoнтинyyм?
Правильно ли я понимаю, что надо делать так:
уравнение прямой $%ax+by+c = 0$%, где $%a,b,c$% — $%R => (a;b;c) = R * R * R = R$% что и требовалось?
задан 5 Ноя ’14 2:08
Не совсем так, потому что здесь нет однозначности. Прямые с пропорциональными коэффициентами в уравнении будут одинаковыми, а тройки разными, поэтому это не биекция. Но сам факт, что прямых континуум, разумеется, верен.
Спасибо, но как тогда избежать повторений и доказать правильно?
1 ответ
В тех случаях, когда непосредственное построение биекции связано с трудностями, желательно применять теорему Кантора — Бернштейна. То есть доказать, что прямых не больше континуума, но и не меньше. Второе очевидно, а для первого уже годится Ваша конструкция: прямых не больше, чем троек, а последних имеется континуум. Но тут можно и по-другому сделать. Прямые однозначно задаются либо упорядоченной парой $%(k;b)$%, если это $%y=kx+b$%, либо числом $%c$%, если это $%x=c$%. Множество пар $%\mathbb R^2$% равномощно $%\mathbb R$% (по Кантору), и тогда возникают две копии $%\mathbb R$%. Их биективно отобразить на $%\mathbb R$% можно многими способами.
отвечен 5 Ноя ’14 4:23
Спасибо, вопрос по Вашему решению: прямую можно задать y = kx + b, если она не параллельна оси OY и x = c, если она параллельна оси OY. Т.е. мы имеем пару (k;b) и с, т.е. надо отразить (R*R V R) в R. Правильно я понимаю? Как это сделать?
@Leva319: да, правильно. Доказать это дело легко, но надо оговорить, на что мы опираемся. Я предлагаю считать известными теорему Кантора — Бернштейна, а также то, что прямая и плоскость равномощны. Это всё равно используется в других задачах, поэтому можно применить, чтобы не говорить лишних слов. Тогда получается, что мощность множества, которое мы рассматриваем, не больше континуума. Плоскость равномощна прямой, а две прямые (это будет $%\mathbb R\cup\mathbb R$% в виде двух разных копий) помещаются на плоскости. Значит, наше множество не более чем континуально. Так проще всего.
Т.е. R * R V R переходит в R V R, т.к. R * R —> R (плоскость, равномощна прямой). В итоге имеем R V R.
Далее Вы пишите, что R V R помещается на плоскости. Что это значит? Что R V R < R * R?
Затем Вы пишите, что множество не более, чем континуально, т.е. R V R <= R?
@Leva319: тут всё просто. Было множество прямых. Мы их закодировали в виде множества пар и чисел (по отдельности). Потом множество пар $%\mathbb R$% превратили в равномощное ему множество $%\mathbb R$%. Получилось две копии множества $%\mathbb R$%. Каждая из них равномощна числовой прямой (это имелось в виду). Рисуем на плоскости два параллельные прямые. Отсюда следует, что мощность нашего множества не превосходит мощности множества точек плоскости, то есть не больше континуума.
Если $%A$% — часть $%B$%, не равная $%B$%, то отсюда не следует $%A < B$%. Верно лишь $%A\le B$% по мощности.
Все понял. Вы доказали, что |A| <= |R| (где А — множество прямых, R — континуум). А как доказать, что |А| >= |R|?
@Leva319: это совсем очевидно. Ясно, что прямых не меньше, чем точек. Достаточно рассмотреть прямые вида $%x=c$%. Их столько же, сколько точек.
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Докажите что множество прямых на плоскости континуально
Группа: Пользователи
Сообщений: 6 823
Пол: Мужской
Реальное имя: Лопáрь (Андрей)
Репутация: 159
Вопрос по условию: пятерки должны быть подобны между собой?
Если да, то при определенной форме пятерки доказательство, боюсь, невозможно. Поскольку в условии не определено точно, что есть пятерка, то будем считать, что они не обязательно должны быть подобны — главное, чтоб читались.
Тогда решение состоит в построении примера, и пример я приведу для пятерок вполне определенной формы, которые все же подобны между собой (и даже равны). 
На рисунке самая левая пятерка — как бы первая, ее мы размножаем параллельным переносом вдоль синей линии. Синяя линия проходит немного горизонтальнее касательной к закруглению в месте сочленения (красная линия). Понятно, что такую пятерку можно провести через каждую точку синей линии, тем самым их множество равномощно множеству точек на прямой, которое есть континуум.
Если касательная наклонена в другую сторону или горизонтальна, то такое решение не годится, но непольшой коррекцией формы мы все же можем добиться набора пятерок, которые будут вложены друг в друга достаточно плотно:
Продолжать процесс до такой степени, что пятерки будут плохо читаемыми, нет необходимости: между красной и синей их уже поместится континуум.
Ну и вывод в обоих случаях следующий: мы нашли подмножество мощности континуум, само же множество не может превышать мощности континуум (каждой пятерке можно поставит в соответстие точку — например, край закругления). Следовательно множество пятерок континуально.
Тут в некотором смысле проще, хотя рассуждений будет немного больше.
Восьмерка в отличие от пятерки обладает площадью. Никакие предположения или ограничения на форму не нужны.
Во-первых разобъем все действительные числа на полуинтервалы (1^n, 1^(n+1)], где n — любое целое число. Полуинтервал, в записи которого стоит число n, будем называть n-ым интервалом.
Рассмотрим все восьмерки, у которых
а) площадь находится в пределах n-ого интервала квадратных метров (далее единицы измерения опускаю);
б) диаметр находится в пределах к-го интервала.
Будем называть такие восьмерки (n,k)-восьмерками.
Рассмотрим круг с центром в начале координат и радиусом равным максимальному диаметру (то есть 2^(k+1) ). В этот круг целиком может поместиться никак не более 2*S/(2^n) (n,k)-восьмерок (включая написанные внутри других таких же восьмерок; S — площадь круга), то есть конечное число.
Теперь учтем те восьмерки, которые не вошли в круг полностью. Для этого окружим круг кольцом ширины 2^(k+1). Все они окажутся внутри большого круга, ограниченного внешней границей кольца. Это означает, что их тоже конечное число.
Теперь увеличим радиус малого круга вдвое и повторим рассуждения. Таким образом, образовав бесконечную последовательность кругов, мы можем пересчитать все (n,k)-восьмерки. Тем самым мы доказали, что их множество счетно.
Осталось только сказать, что количество классов (n,k)-восьмерок тоже счетно. А счетное объединение счетных множество также счетно. Тем самым задача о восьмерках решена.
Задача о птичьих следах решается аналогично, с небольшой модификацией. Я напишу решение завтра (если никто не опередит ).
Равномощность
Это как это так? О какой равномощности здесь может идти речь, когда одной прямой принадлежит бесконечное число точек, а через одну точку проходит бесконечное число прямых?
Нет, понятно, есть такое отображение, так как задача изначально считается решимой, но что это за отображение, я понятия не имею:(((
Помогите, пожалуйста, ламеру:(((
Любая точка задается парой чисел, т. е. множество точек равномощно множеству пар чисел.
Любая прямая, непараллельная оси ОУ задается парой чисел
Уже предчувствую, что тут через пару часов начнется