Как решать матрицы 3х3

Вычисление определителя матрицы 3х3, мы рассматривали в примере №2

Определитель матрицы — является многочленом от элементов квадратной матрицы (если элементы матрицы это числа, тогда определитель матрицы тоже будет числом).

Для нахождения определителя матрицы, исходная матрица должна быть квадратной.

Пример №1

Дана матрица размером 2х2;

Что бы вычислить определитель матрицы 2х2 нужно из произведения элементов главной диагонали, вычесть произведение элементов побочной диагонали;

Ответ: -6

Пример №2

Дана матрица размером 3х3;

Что бы вычислить определитель матрицы 3х3 нужно воспользоваться формулой;

Подставляем наши значения в формулу;

Пример №3

Дана матрица размером 4х4;

Есть два способа вычисления определителя матрицы:

1. По определению — через разложение по строке или столбцу;
2. По методу Гаусса — приведение матрицы к треугольному виду (этот способ лучше использовать для решения матриц, размером 4х4 и более).

Решим пример первым способом (по определению — через разложение по строке или столбцу)

Чтобы вычислить определитель матрицы, нужно воспользоваться следующей формулой, в ней рассмотрен пример разложения матрицы по первой строке;

Итак, начнём

1. Выбираем строку или столбец (любую), лучше всего выбирать строку или столбец, где больше нулей, для удобства вычисления;
   В данном случае мы выбираем третью строку, так как в ней присутствует ноль;

1. Берём первый элемент этой строки (2);
   Теперь вычёркиваем третью строку и первый столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Согласно формуле, мы умножаем выбранный нами элемент на определитель получившейся матрицы;

Вычисление определителя матрицы 3х3, мы рассматривали в примере №2

1. Далее делаем всё тоже самое, что и в шаге два, только берём второй элемент данной строки (0) и вычёркиваем третью строку и второй столбец;

Так как этот элемент равен нулю, то ни чего не нужно считать и так всё ясно;

1. Теперь берём третий элемент строки (6) и вычёркиваем третью строку и третий столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный нами элемент (6)

1. Берём четвёртый элемент строки (-3) и вычёркиваем третью строку и четвёртый столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный нами элемент (-3)

1. Чтобы вычислить определитель исходной матрицы, нужно сложить полученные результаты;

Ответ: -1926

Опишем решение примера вторым способом(по методу Гаусса — приведение матрицы к треугольному виду)

Суть способа заключается в том, чтобы перед вычислением определителя, привести матрицу к треугольному виду. Если в ходе приведения матрицы к треугольному виду вы умножаете (делите) строку на число, то на это же число нужно будет умножить (разделить) полученный в конце определитель;

Пример приведения матрицы к треугольному виду мы уже рассматривали здесь

Итак, мы привили матрицу к треугольному виду;

Теперь чтобы вычислить определитель приведённой матрицы, нужно перемножить все элементы, стоящие на главной диагонали;

Определитель матрицы 3 на 3

Детерминант матрицы (не путайте с дискриминантом для квадратных уравнений) — это определённая матричная характеристика. Иногда вместо термина «детерминант» также используется понятие «определитель».

Детерминант можно посчитать только для квадратных матриц, поэтому при постановке вопроса о нахождении детерминанта для матрицы с размерностью 3 имеют в виду именно квадратную матрицу.

Ниже мы рассмотрим различные способы нахождения определителя 3х3.

Разложение определителя матрицы по строчке

Этот метод сложнее на словах, чем на деле.

Суть его в том, что определитель записывается как сумма произведений элементов первой или любой другой строчки и соответствующих им определителей размером 2 на 2.

Определитель для каждого произведения состоит из элементов, записанных без элементов той строчки и столбца, в которых стоит единичный элемент-множитель.

Также можно осуществлять разложение не только по первой строчке, но и по любой другой или даже столбцу.

Чтобы определить знак, который записывается перед очередным произведением, необходимо помнить, что знаки при элементах чередуются, у первого элемента первой строки — плюс.

То есть произведение при первом элементе первой строчки будет записываться положительным.

Вычислите определитель для $M$ разложением по любой строчке:

$M = \begin -1 & 2 & 5 \\ 7 & -4 & 3 \\ -5 & 0 & 10 \\ \end$

Решение:

Рисунок 1. Пример матрицы 3х3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В последней строчке присутствует нуль, поэтому удобно будет сделать разложение именно по ней:

$Δ= (-5) \cdot \begin <|cc|>2 & 5 \\ -4 & 3 \\ \end – 0 \cdot \begin <|cc|>— 1 & 5 \\ 7 & 3 \\ \end + 10 \cdot \begin <|cc|>-1 & 2 \\ 7 & -4 \\ \end = ( — 5 \cdot (6 + 20) – 0 + 10 \cdot (4 – 14) = (-5) \cdot 26 – 0 – 100 = -230$.

Готовые работы на аналогичную тему

Способ «по-французски»: правило Саррюса

Самый легко запоминаемый способ.

Первые два столбика матрицы переписываются рядом справа с исходной матрицей, а дальше рассматриваются левые и правые образуемые диагонали.

Тройки произведений чисел с розовых диагоналей записываются с плюсом, а с синих – с минусом.

Рисунок 2. Как посчитать матрицу 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Посчитайте определитель $М$ этим методом.

Решение:

$Δ = (-1) \cdot (-4) \cdot 10 + 2 \cdot 3 \cdot (-5) + 5 \cdot 7 \cdot 0 – 2 \cdot 7 \cdot 10 — (-1) \cdot 3 \cdot 0 – 5 \cdot (-4) \cdot (-5) = 40 – 30 + 0 -140 – 0 – 100 = 230$.

Мнемоническое правило с треугольниками

Несколько более сложный способ для запоминания в отличие от предыдущего.

Суть его в том, что произведения троек значений с главной диагонали и с двух треугольников, одна из сторон для каждого параллельна главной диагонали, записываются с плюсом, а с минусом записываются те произведения, что на побочной диагонали и двух треугольниках с параллельными ей сторонами (смотрите рисунок).

Рисунок 3. Как найти детерминант матрицы 3 на 3. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Приведение матричной таблицы к треугольной

В этом методе нужно получить матрицу, элементы которой сверху или снизу от главной диагонали равны нулю.

Найти определитель для М с помощью получения треугольной матрицы.

Решение:

Вспомним свойство определителя: из любой строки или столбца можно вынести общий для этой строчки или столбца множитель.

$\begin <|ccc|>-1 & 2 & 5 \\ 7 & -4 & 3 \\ -5 & 0 & 10 \\ \end = \begin <|ccc|>-1 & 2 & 5 \\ 7 & -4 & 3 \\ -1 \cdot 5 & 0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ \end= 5 \cdot \begin <|ccc|>-1 & 2 & 5 \\ 7 & -4 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ \end = 5 \cdot \begin <|ccc|>-1 & 1 \cdot 2 & 5 \\ 7 & -2 \cdot 2 & 3 \\ -1 & 0 \cdot 2 & 2 \\ \end= 10 \cdot \begin <|ccc|>-1 & 1 & 5 \\ 7 & -2 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ \end$.

Теперь преобразуем полученную таблицу, для этого начинаем приводить к нулям элементы крайнего левого столбца. Строчки для удобства будем записывать как (n), где n — это номер строчки.

1) (2) $\cdot \frac17$ + (3), результат запишем в третьей строчке:

2) (1) $ \cdot 7$ + (2), полученное запишем во второй строчке:

3) (2) $\cdot \frac<2><35>$ + (3)$, пишем в 3-ью:, пишем в 3-ью:

Получили матрицу нужного типа. Посчитаем $D$:

$Δ = 10 \cdot (-1) \cdot 5 \cdot \frac<23> <5>= -230$.

Во время использования данного способа внимательно следите за знаками, а также за порядком вычислений.

Теперь вы умеете решать определители матриц наиболее распространёнными способами.

Как найти определитель матрицы 3Х3

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 20 человек(а).

Количество просмотров этой статьи: 107 655.

Определители матриц часто используются в вычислениях, в линейной алгебре и аналитической геометрии. Вне академического мира определители матриц постоянно требуются инженерам и программистам, в особенности тем, кто работает с компьютерной графикой. Если вы уже знаете, как найти определитель матрицы размерностью 2×2, то из инструментов для нахождения определителя матрицы 3×3 вам будут необходимы только сложение, вычитание и умножение.