Прямая не пересекает окружность где на окружности находится точка расстояние

Прямая не пересекает окружность где на окружности находится точка расстояние

Окружность – это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки.

Основные понятия:

Центр окружности – это точка, равноудаленная от точек окружности.

Радиус – это расстояние от точек окружности до ее центра (равен половине диаметра, рис.1).

Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности (рис.1).

Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности (рис.1).

Касательная – это прямая, имеющая только одну общую точку с окружностью. Проходит через точку окружности перпендикулярно диаметру, проведенному в эту точку (рис.1).

Секущая – это прямая, проходящая через две различные точки окружности (рис.1).

Единичная окружность – это окружность, радиус которой равен единице.

Дуга окружности – это часть окружности, разделенная двумя несовпадающими точками окружности.

1 радиан – это угол, образуемый дугой окружности, равной длине радиуса (рис.4).
1 радиан = 180˚ : π ≈ 57,3˚

Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности. Равен градусной мере дуги, на которую опирается (рис.2).

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Равен половине градусной меры дуги, на которую опирается (рис.3).

Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.

Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными.

Длина окружности и площадь круга:

Обозначения:
Длина окружности – C
Длина диаметра – d
Длина радиуса – r

Значение π:
Отношение длины окружности к длине ее диаметра обозначается греческой буквой π (пи).

Формула длины окружности:

C = πd, или C = 2πr

Формулы площади круга:

Площадь кругового сектора и кругового сегмента.

Круговой сектор – это часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.
Формула площади кругового сектора:

πR 2
S = ——— α
360

где π – постоянная величина, равная 3,1416; R – радиус круга; α – градусная мера соответствующего центрального угла.

Круговой сегмент – это общая часть круга и полуплоскости.
Формула площади кругового сегмента:

πR 2
S = ——— α ± S_Δ
360

где α – градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента; S_Δ — площадь треугольника с вершинами в центре круга и в концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор.

Знак «минус» надо брать, когда α < 180˚, а знак «плюс» надо брать, когда α > 180˚.

Уравнение окружности в декартовых координатах x, y c центром в точке (a;b):

Окружность, описанная около треугольника (рис.4).

Если от середины каждой из сторон треугольника провести перпендикуляры, то точка их пересечения будет центром окружности, описанной около этого треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник (рис.5).

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

Углы, вписанные в окружность (рис.3).

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность.

Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Основные понятия:

Угол делит плоскость на две части. Каждая из этих частей называется плоским углом.

Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.

Плоский угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом (рис.2)

Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности.

Если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке S, то

Если из точки P к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность соответственно в точках A, B и C, D, то

Частные случаи и формулы:

1) Из точки C, находящейся вне окружности, проведем касательную к окружности и обозначим точку их соприкосновения буквой D.

Затем из той же точки C проведем секущую и точки пересечения секущей и окружности обозначим буквами А и B (рис.8).

CD 2 = AC · BC

2) Проведем в окружности диаметр AB. Затем из точки C, находящейся на окружности, проведем перпендикуляр к этому диаметру и обозначим получившийся отрезок CD (рис.9).

Взаимное расположение прямой и окружности

Если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, лежащего на на этой прямой. На рисунке 1 прямая проходит через центр окружности (точку О) и пересекает ее в двух точках А и В, которые являются концами диаметра АВ данной окружности.

Если прямая не проходит через центр О окружности радиуса , то возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом этой окружности и расстоянием от центра окружности до прямой .

1 случай

. На прямой от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны . Точки А и В по построению лежат на одной прямой (Рис.2).

Проверим, лежат ли точки А и В на окружности.

АНО и ВНО — прямоугольные (т.к. расстояние от точки О до прямой — это перпендикуляр) , следовательно, по теореме Пифагора: и , учитывая то, что ОН = , НА = НВ = , получим:

Поэтому точки А и В лежат на окружности и, значит, являются общими точками прямой и данной окружности,.

Докажем, что прямая и данная окружность не имеют других общих точек. Предположим, что они имеют еще одну общую точку С, значит, ОС = (Рис.3).

Тогда медиана ОD равнобедренного ОАС (ОА = ОС = ), проведенная к основанию АС, является высотой этого треугольникам (по свойству равнобедренного треугольника), поэтому OD . Отрезки ОD и ОН не совпадают, т.к. середина D отрезка АС не совпадает с точкой Н — серединой отрезка АВ. Мы получили, что из точки О проведены два перпендикуляра (отрезки ОН и ОD) к прямой , что невозможно (т.к. из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один). Следовательно, наше предположение неверно, т.е. точка С не является общей точкой прямой и данной окружности.

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (), то прямая и окружность имеют две общие точки.

В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности (на рисунке 2 прямая — секущая).

2 случай

= . В этом случае ОН = , т.е. точка Н лежит на окружности и, значит, является общей точкой прямой и окружности (Рис.4).

Прямая и окружность не имеют других общих точек, т.к. для любой точки М прямой , отличной от точки Н, ОМОН = (наклонная ОМ всегда больше перпендикуляра ОН), и, следовательно, точка М не лежит на окружности.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности ( = ), то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

В этом случае прямая называется касательной по отношению к окружности (на рисунке 4 прямая — касательная).

3 случай

. В этом случае, ОН , поэтому для любой точки М прямой ОМОН (Рис. 5). Следовательно, точка М не лежит на окружности.

Касательная и секущая к окружности

На плоскости прямая и окружность могут либо пересекаться друг с другом, либо не пересекаться:

Расстояние от центра O до прямой m равно длине перпендикуляра OA. Следовательно, расстояние от центра окружности до прямой всегда будет равно перпендикуляру, опущенному из центра окружности на прямую.

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса данной окружности, то прямая и окружность не пересекаются и не имеют общих точек:

Касательная

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу данной окружности, то прямая касается окружности и они имеют одну общую точку, такая прямая называется касательной к окружности:

Прямая m — касательная. Точка соприкосновения прямой и окружности, то есть их общая точка, называется точкой касания: точка A — точка касания.

Касательная – это прямая линия, имеющая с окружностью одну общую точку.

Секущая

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса данной окружности, то прямая пересекает окружность и они имеют две точки касания, такая прямая называется секущей к окружности: