5.3. Решение задач
Пример 1. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина X – число появлений события A в трех опытах. Построить ряд и многоугольник распределения, функцию распределения случайной величины X. Найти: 1) вероятность событий: A=
Решение. Случайная величина X может принимать значения ; ; ; . Соответствующие им вероятности найдем, воспользовавшись формулой Бернулли. При n=3, ; имеем: ; ;
Отсюда ряд распределения случайной величины X имеет вид:
Многоугольник распределения случайной величины X представлен на рис.6.
Найдем функцию распределения F(x). По определению функции распределения имеем: если , то ;
График функции F(x) изображен на рис. 7.
1) Сначала вычислим искомые вероятности непосредственно:
Эти же вероятности найдем, воспользовавшись формулами:
2) Найдем математическое ожидание случайной величины X. Используя формулу (3), получим . Вычислим дисперсию. По формуле (6) имеем:
=0,72. Тогда среднее квадратическое отклонение .
Пример 2. Дан ряд распределения дискретной случайной величины X:
Решение. Так как дискретная случайная величина X принимает значение с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями, то мода случайной величины X равна 20, т. е. .
Пример 3. Дана функция
Показать, что может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины X.. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Решение. Используя свойство нормированности плотности распределения, найдем, что
Кроме того, . Следовательно, может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины. Так как прямая является осью симметрии соответствующей дуги кривой (см. рис.8), то математическое ожидание случайной величины X равно , т. е. . Найдем дисперсию, воспользовавшись формулой (8). Двукратным интегрированием по частям получим:
Пример 4. Дана плотность вероятности случайной величины X;
Найти функцию распределения F(X), вероятность попадания случайной величины X в промежуток , числовые характеристики величины X: .
Решение. Найдем функцию распределения случайной величины X, для этого воспользуется соотношением (1).
По формуле (*) имеем .
Найдем математическое ожидание случайной величины X. Согласно формуле (5)
Теперь отыщем дисперсию. По формуле (8)
Отсюда среднее квадратическое отклонение .
Пример 5. Найти моду, медиану, математическое ожидание и функцию распределения случайной величины X с плотностью вероятности
Решение. Найдем точку максимума функции : ; отсюда при . Точка является точкой максимума функции , так как , если и , если . Следовательно, мода .
Медиану определим из условия (9): (или ).
В данном случае по формуле (2): , т. е. .
Таким образом, приходим к уравнению: или . Отсюда, .
Воспользовавшись формулой (5), вычислим математическое ожидание случайной величины X:
Производится 4 независимых испытаний в каждом из которых некоторое событие а наступает
Задача. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,6. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X числа появления события А в трех опытах. Найти числовые характеристики этой случайной величины X.
Решение. Введем дискретную случайную величину X = (Число появлений события A при трех опытах). Так как испытания независимы, можно сделать вывод, что величина X распределена по биномиальному закону с параметрами: n=3, p=0,6, q=1- p =0,4, ( здесь p — вероятность появления события A в одном опыте ).
Производится серия из 4 испытаний, в каждом из которых А может появиться с вероятностью 0,1 .Найти вероятность следующих событий: В- событие А появится ровно
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.