Сколько плоскостей перпендикулярных данной плоскости можно провести через прямую параллельную данной

Двугранный угол. Признак перпендикулярности двух плоскостей

Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через прямую, которая пересекает данную плоскость и не перпендикулярна ей?

Варианты ответов

• 1
• 2
• 3
• 4
• бесконечно много

Вопрос 2

Сколько можно провести плоскостей, перпендикулярных данной плоскости и данной прямой, лежащей в этой плоскости?

Варианты ответов

• 1
• 2
• 3
• 5
• бесконечно много

Вопрос 3

Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через прямую, перпендикулярную данной плоскости?

Варианты ответов

• 1
• 2
• 3
• 5
• бесконечно много

Вопрос 4

Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через прямую, параллельную данной плоскости?

Варианты ответов

• 1
• 2
• 3
• 5
• бесконечно много

Вопрос 5

Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через точку, не лежащую на данной плоскости?

Варианты ответов

• 1
• 2
• 3
• 5
• бесконечно много

Вопрос 6

ABCD — квадрат с периметром 32, ВМКС — прямоугольник с периметром 24. Плоскости ABCD и ВМКС перпендикулярны. Найдите МD.

Вопрос 7

Треугольник АВС — равносторонний с периметром 45, ВМКС — прямоугольник с периметром 46. Плоскости ВМКС и АВС перпендикулярны. Определите длину МА.

Вопрос 8

Плоскости α и β перпендикулярны. АВ перпендикулярно BD, CD перпендикулярно BD, AB = 3, BD = 6, CD = 2. Найдите длину АС.

Вопрос 9

Вопрос 10

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, .

Варианты ответов

• не принадлежащей одной плоскости
• принадлежащей одной плоскости

Получите комплекты видеоуроков + онлайн версии

Комментарии 3

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Наталия Мазурова,

Добрый день. Большое Спасибо Вам за ваш тест. Грамотные и интересные вопросы подобраны. Интересно отвечать на такой тест. Очень упрощает подготовку к дистанционному уроку.

НО Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через прямую, перпендикулярную данной плоскости? (с ответом на этот вопрос я не согласна, ответом должно быть "бесконечно много", как пример можно взять раскрытую книгу стоящую на столе: корешок — прямая перпендикулярная плоскости,страницы плоскости перпендикулярные поверхности стола.)

С Уважением к Вам и Вашему Труду Мазурова Наталия Сергеевна

Здравствуйте, Наталия Сергеевна. Благодарим Вас за ожидание. Мы проверили тест — ошибок не обнаружили. Пожалуйста, попробуйте пройти его еще раз. Если у Вас возникнут вопросы, пришлите скрины с ошибками в нашу службу техподдержки: [email protected]

Наталия Мазурова,

Добрый день. Большое Спасибо Вам за ваш тест. Грамотные и интересные вопросы подобраны. Интересно отвечать на такой тест. Очень упрощает подготовку к дистанционному уроку.

НО Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через прямую, перпендикулярную данной плоскости? (с ответом на этот вопрос я не согласна, ответом должно быть "бесконечно много", как пример можно взять раскрытую книгу стоящую на столе: корешок — прямая перпендикулярная плоскости,страницы плоскости перпендикулярные поверхности стола.)

С Уважением к Вам и Вашему Труду Мазурова Наталия Сергеевна

Здравствуйте, Наталия Сергеевна. Благодарим за Ваш комментарий. Мы обязательно все проверим.

Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность плоскостей..10 класс Презентация составлена для изучения темы. Будет полезна учителям и учащимся.

Просмотр содержимого документа
«Перпендикулярность плоскостей»

Две плоскости называются перпендикулярными , если угол между ними прямой.

Теорема. (Признак перпендикулярности двух плоскостей.) Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство. Пусть плоскость α проходит через прямую a , перпендикулярную плоскости β , c – линия пересечения плоскостей α и β. Докажем, что плоскости α и β перпендикулярны. В плоскости β через точку пересечения прямой a с плоскостью β проведем прямую b , перпендикулярную прямой c . Через прямые a и b проведем плоскость γ . Прямая c будет перпендикулярна плоскости γ , так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b в этой плоскости. Поскольку прямая a перпендикулярна плоскости β , то угол, образованный a и b , прямой. Он является линейным углом соответствующего двугранного угла. Следовательно, плоскости α и β перпендикулярны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Верно ли, что две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через данную прямую?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Бесконечно много, если прямая перпендикулярна плоскости, и одну в противном случае.

Плоскость α перпендикулярна плоскости β . Будет ли всякая прямая плоскости α перпендикулярна плоскости β ?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Плоскость и прямая параллельны. Верно ли утверждение о том, что плоскость, перпендикулярная данной плоскости, перпендикулярна и данной прямой?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Плоскость и прямая параллельны. Будет ли верно утверждение о том, что плоскость, перпендикулярная прямой, перпендикулярна и данной плоскости?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC ( C = 90°) перегнули по высоте CD таким образом, что плоскости ACD и BCD образовали прямой угол. Найдите углы ADB и ACB .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: 90 о , 60 о .

В кубе A … D 1 укажите плоскости, проходящие через вершины куба, перпендикулярные плоскости: а) ABC ; б) BCD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а ) ABB 1 , BCC 1 , CDD 1 , ADD 1 , ACC 1 , BDD 1 ;

б ) AAB 1 , CDD 1 , AB 1 C 1 .

В правильной шестиугольной призме назовите плоскости, проходящие через вершины призмы и перпендикулярные плоскости: а) ABB 1 ; б) ACC 1 ; в) ADD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а) ABC , A 1 B 1 C 1 , AEE 1 , BDD 1 , AB 1 D 1 , BA 1 E 1 ;

б) ABC , A 1 B 1 C 1 , AFF 1 , CDD 1 , BEE 1 , AC 1 D 1 ; CA 1 F 1 ;

в) ABC , A 1 B 1 C 1 , BFF 1 , CEE 1 .

Назовите плоскости, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, перпендикулярные плоскости ABC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ. ABB 1 ADD 2 , BCC 1 , CDD 2 , A 1 D 1 C 2 , ACC 1 , BDD 2 , AA 2 C 2 , BB 1 D 1 , CC 1 A 1 , A 1 B 2 D 2 .

Назовите плоскости, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, перпендикулярные плоскости ADD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ. ABC , ABB 1 , CDD 1 , A 1 A 2 D 2 , A 3 B 3 C 3 , ABC 1 , CDA 1 , B 2 C 3 D 3 , B 3 C 2 D 2 , AD 3 C 3 , DA 3 B 3 .

Существует ли треугольная пирамида, у которой три грани попарно перпендикулярны?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Существует ли пирамида, у которой три боковые грани перпендикулярны основанию?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Могут ли боковыми гранями наклонной призмы быть: а) 2 прямоугольника; б) 3 прямоугольника; в) 4 прямоугольника?

Конспект по математике на тему Перпендикулярность плоскостей»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: Перпендикулярность плоскостей.

Задачи: Ввести определение перпендикулярных плоскостей и рассмотреть признаки и свойства перпендикулярности плоскостей.

Формировать самостоятельность и логическую последовательность при работе.

Воспитывать эстетическое отношение к своему труду.

Тип занятия . Комбинированный урок

Оборудование : учебники, таблицы, раздаточный материал

Ход занятия.

Организационный момент

Проверка подготовки группы к уроку

Работа с классным журналом.

Постановка темы и задач занятия

Сегодня мы с вами рассмотрим определение перпендикулярных плоскостей и признаки и свойства перпендикулярности плоскостей.

Повторение изученного

1. Беседа по вопросам:

1. Какие прямые в пространстве называются перпендику­лярными?

2 Сколько перпендикулярных прямых к данной прямой можно провести через точку, лежащую на данной прямой?

3. Сформулируйте признак перпендикулярности двух прямых в пространстве.

4. Дайте определение перпендикулярности прямой и плос­кости.

5. Сформулируйте необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямой и данной плоскости.

6. Плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых. Будет ли эта плоскость перпендикулярна другим прямым?

7. Что можно сказать о всех перпендикулярных прямых к одной плоскости?

8. Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

9. Что называется расстоянием от точки до плоскости?

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость .

10. Что такое наклонная, проведенная из данной точки к плоскости? Что такое проекция наклонной?

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плос­кости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плос­кости. Конец отрезка , лежащий в плоскости , называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания пер­пендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

11. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпенди­кулярна и проекции наклонной.

12. Что такое общий перпендикуляр скрещивающихся пря­мых?

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых назы­вается отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпенди­куляром к каждой из них.

13. Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называет­ся длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

14 . Что называется расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости?

Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости на­зывается расстояние от любой точки этой прямой до плоскости.

15. Что называется расстоянием между парал­лельными плоскостями?

Расстоянием между парал­лельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.

2. Проверка домашнего задания.

Глава II , § 1, п. 15 – 18, § 2, п. 19 – 20, задача

Геометрия, 10–11: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] – 15-е изд., — М. : Просвещение, 2006. – 256 с. : ил. Гриф Минобр.

Задача № 45 . Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плос­кости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Решение . Пусть А, В, С — точки касания сторон треугольника с окружностью, О — центр окружности и S — точка на перпендикуляре (рис. 364). Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о трех перпендикулярах отрезок SA есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина — расстояние от точ­ки S до стороны треугольника. По теореме Пифагора SA = = , где г — радиус вписанной окружности. Аналогично находим SB = , SC = т. е. все расстояния от точки S до сторон треугольника равны.

Изучение нового

Двугранный угол

Углом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точ­ки. В стереометрии наряду с такими углами рассматри­вается еще один вид углов — двугранные углы.

Чтобы ввести понятие двугранного угла, напомним, что любая прямая, проведенная в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две полуплоскости (рис.).

Предста­вим себе, что мы перегнули плоскость по прямой а так, что две полуплоскости с границей а оказались уже не лежащими в одной плоскости (рис.). Полученная фигура и есть двугранный угол.

Таким образом, можно дать такое определе­ние двугранного угла: двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоско­стями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. У двугранного угла две грани, отсюда и название — двугранный угол. Пря­мая а — общая граница полуплоскостей — называется ребром двугранного угла.

Двугранный угол с ребром АВ, на разных гранях которого отмечены точки С и D , называют дву­гранным углом CABD . Примеры двугранных углов…

Мы знаем, что углы на плоскости (обычные углы) измеряются в градусах. А как измеряются дву­гранные углы? Это делается следующим образом. Отме­тим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпенди­кулярно к ребру. Образованный этими лучами угол на­зывается линейным углом двугранного угла. На рисун­ке а угол АОВ — линейный угол двугранного угла с ребром CD . Так как ОА  CD и OB  CD , то плос­кость АОВ перпендикулярна к прямой CD . Таким обра­зом, плоскость линейного угла перпендикулярна к реб­ру двугранного угла.

Очевидно, двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов (рис. б).

Докажем, что все линейные углы дву­гранного угла раины друг другу. Рассмотрим два линей­ных угла АОВ и А₁О₁В₁ (см. рис. б). Лучи ОА и О₁А₁ лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой OO ₁ поэтому они сонаправлены. Точно так же сонаправлены лучи ОВ и О₁В₁. Поэтому  A _l O _l B _l =  AOB (как углы с сонаправленными сторонами).

Градусной мерой двугранного угла называ­ется градусная мера его линейного угла. На рисун­ке а) градусная мера двугранного угла равна 45°. Обычно говорят коротко: «Двугранный угол равен 45°».

Двугранный угол называется прямым (ост­рым, тупым), если он равен 90° (меньше 90°, боль­ше 90°). Двугранный угол, изображенный на рисун­ке б) прямой, на рисунке а) — острый, а на рисунке в) — тупой.

Признак перпендикулярности плоскостей

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис.). Если один из этих двугранных углов равен  , то другие три угла равны соответственно 180°   ,  и 180°   . В частности, если один из углов прямой (  = 90°), то и остальные три угла прямые. Если  — тот из четы­рех углов, который не превосходит каждого из осталь­ных, то говорят, что угол между пересекающимися

плоскостями равен  . Очевидно, 0° <  < 90°.

Определение 1. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90° (рис).

Определение 2. Две пересекающиеся плоскости называются перпендику­лярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендику­лярным прямым.

На рисунке 365, а вы видите две перпендикулярные плос­кости α и  , пересекающиеся по прямой с. Плоскость  , перпен­дикулярная прямой с , пересекает плоскости α и по перпендикулярным прямым а и b .

Любая плоскость, перпендикулярная линии пересечения перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендику­лярным прямым.

Действительно, если взять другую плоскость  перпен­дикулярную прямой с , (рис. 365, б), то она пересечет плос­кость α по прямой а  перпендикулярной с , а значит, парал­лельной прямой а, а плоскость  по прямой b  перпенди­кулярной с и, значит, параллельной прямой b . По теореме 17.1 из перпендикулярности прямых а и b следует перпендикуляр­ность прямых а’ и b  что и требовалось доказать.

Теорема Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости пер­пендикулярны.

Доказательство. Пусть α — плоскость, b — перпен­дикулярная ей прямая,  — плоскость, проходящая через прямую b , и с — прямая, по которой пересекаются плоскости α и  (рис. 366). Докажем, что плоскости α и  перпендику­лярны.

Проведем в плоскости α через точку пересечения прямой b с плоскостью α прямую а , перпендикулярную прямой с. Про­ведем через прямые а и b плоскость  . Она перпендикулярна прямой с , так как прямая с перпендикулярна прямым а и b . Так как прямые а и b перпендикулярны, то плоскости α и  перпендикулярны. Теорема доказана.

Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоско­стей (рис.).

Закрепление изученного

Решение упражнений с разбором у доски.

Самостоятельное решение упражнений с последующей проверкой

Задача Даны прямая а и плоскость α. Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости α.

Решение . Через произвольную точку прямой а про­водим прямую b (рис. 367), перпендикулярную плоскости α (задача 12). Через прямые а и b проводим плоскость  . Плоскость  перпендикулярна плоскости α по теореме.

Дополнительные задания

Сформулируйте определение двугранного угла.

двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоско­стями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Что называют гранями двугранного угла?

Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями .

Что ребром гранями двугранного угла?

общая граница полуплоскостей — называется ребром двугранного угла.

Чем определяется величина двугранного угла? ( величиной его линейного угла )

Дайте определение взаимно перпендикулярным плоскостям?

Определение 1. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90° (рис ).

Определение 2. Две пересекающиеся плоскости называются перпендику­лярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендику­лярным прямым.

Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей.

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости пер­пендикулярны.

Задание на дом:

Глава 3, § 3, №№ 183, 184, с. 55.

Геометрия, 10–11: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] – 15-е изд., — М. : Просвещение, 2006. – 256 с. : ил. Гриф Минобр.