Найти все значения параметра а при которых система уравнений имеет единственное решение

Системы уравнений с двумя переменными и параметрами

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \).
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ \Delta = \begin \mathrm & 1 \\ 1 & \mathrm \end= a^2-1\neq 0 \Rightarrow a\neq \pm 1 $$

Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.

п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром

При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \).
\( \mathrm \) – уравнение окружности с центром в начале координат, и переменным радиусом a.
\( \mathrm \) – уравнение прямой.
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:

Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1 2 + 1 2 = 2 $$ \mathrm> $$

п.3. Примеры

Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\< \begin < l >\mathrm <|x|+|y|=4>& \\ \mathrm <(x-3)^2+(y-3)^2=(a+1)^2>& \end\right. \) имеет единственное решение.
Первое уравнение – квадрат с вершинами (±4; 0),(0; ±4); второе уравнение – окружность переменного радиуса с центром в точке (3; 3).

Единственное решение соответствует радиусу \( \mathrm>. \)
При увеличении радиуса будет 2, 3 или 4 точки пересечения. При дальнейшем увеличении окружность становится слишком большой, пересечений с квадратом нет.
Получаем:\( \mathrm<|a+1|=\sqrt<2>\Rightarrow a+1=\pm\sqrt<2>\Rightarrow a_<1,2>=-1\pm\sqrt<2>>. \)

Пример 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \) имеет единственное решение. $$ \left\< \begin < l >\mathrm \left[\begin < l >\mathrm <4-2x,\ \ x\lt 0>& \\ \mathrm <4,\ \ 0\leq x\leq 4>& \\ \mathrm <2x-4,\ \ x\gt 0>& \end\right. & \\ \mathrm & \end\right. $$ Первое уравнение – ломаная, второе – парабола ветками вниз с подвижной вершиной на оси x = 2.

При (a – 1) 2 < 4 решений нет.
При (a – 1) 2 = 4 одно решение.
При (a – 1) 2 > 4 два решения.
Получаем:\( \mathrm <(a-1)^2=4\Rightarrow a-1=\pm 2\Rightarrow>\left[\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Вторая часть.

В первой части мы рассматривали системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), все коэффициенты которых были известны. В этой же части разберём СЛАУ, среди коэффициентов которых есть некий параметр. Для исследования СЛАУ на совместность станем использовать теорему Кронекера-Капелли. В процессе решения примеров на данной странице будем применять метод Гаусса или же метод Крамера. Сформулируем теорему и следствие из неё ещё раз:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde$.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

Если $\rang A\neq\rang\widetilde$, то СЛАУ несовместна (не имеет решений). Если $\rang A=\rang\widetilde < n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений). Если $\rang A=\rang\widetilde = n$, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).

Параметр $n$, использованный выше, равен количеству переменных рассматриваемой СЛАУ.

Исследовать СЛАУ $ \left \ <\begin& kx_1+2x_2+x_3=8;\\ & -x_1+x_2+2x_3=7;\\ & x_2+kx_3=5.\end\right.$ на совместность и найти решение системы в зависимости от значений параметра $k$.

Чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $\widetilde$. Сделать это можно несколькими путями. Стоит учесть, что в данном примере нам требуется не только исследовать систему на совместность, но и указать её решения. Мне кажется наиболее удобным в таких задачах применять метод Гаусса, однако это вовсе не является обязательным. Для разнообразия данный пример решим методом Гаусса, а следующий – методом Крамера. Итак, запишем и начнём преобразовывать расширенную матрицу системы. При записи расширенной матрицы системы поменяем местами первую и вторую строки. Это нужно для того, чтобы первым элементом первой строки стало число -1.

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Напомню, что до черты расположена преобразованная матрица матрица системы: $\left(\begin-1 & 1 &2\\0 & 1 & k\\ 0 & 0 & 1-k^2\end \right)$.

Каким бы ни было значение параметра $k$, полученная нами после преобразований матрица будет содержать не менее двух ненулевых строк (первая и вторая строки точно останутся ненулевыми). Вопрос о количестве решений зависит лишь от третьей строки.

В следствии из теоремы Кронекера-Капелли указаны три случая, и в данном примере легко рассмотреть каждый из них. Начнём с варианта $\rang A\neq\rang\widetilde$, при котором система не имеет решений, т.е. несовместна.

$\rang A\neq\rang\widetilde$

Ранги будут не равны друг другу лишь в одном случае: когда $1-k^2=0$, при этом $2k-2\neq<0>$. В этом случае преобразованная матрица системы будет содержать две ненулевых строки (т.е. $\rang A=2$), а преобразованная расширенная матрица системы будет содержать три ненулевых строки (т.е. $\rang \widetilde=3$). Иными словами, нам требуется решить систему уравнений:

Из первого уравнения имеем: $k=1$ или $k=-1$, однако $k\neq<1>$, поэтому остаётся лишь один случай: $k=-1$. Следовательно, при $k=-1$ система не имеет решений.

$\rang A=\rang\widetilde<3$

Рассмотрим второй пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой, но меньше, чем количество переменных (т.е. меньше 3). Это возможно лишь в том случае, если последняя строка преобразованной расширенной матрицы системы полностью станет нулевой, т.е.

Из данной системы имеем: $k=1$. Именно при $k=1$ третья строка преобразованной расширенной матрицы системы станет нулевой, поэтому $\rang=\rang\widetilde=2$. При этом, повторюсь, у нас всего три переменных, т.е. имеем случай $\rang A=\rang\widetilde=2<3$.

Система имеет бесконечное количество решений. Найдём эти решения. Подставим $k=1$ в преобразованную матрицу и продолжим операции метода Гаусса. Третью строку (она станет нулевой) просто вычеркнем:

Из последней матрицы имеем: $\left\<\begin& x_1=x_3-2;\\& x_2=-x_3+5.\end\right.$

$\rang A=\rang\widetilde=3$

Рассмотрим третий пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой и равны количеству переменных. Это возможно лишь в том случае, если $1-k^2\neq<0>$, т.е. $k\neq<-1>$ и $k\neq<1>$. Продолжаем решение методом Гаусса:

• При $k=-1$ система несовместна.
• При $k=1$ система является неопределённой. Общее решение системы: $\left\<\begin& x_1=x_3-2;\\& x_2=-x_3+5;\\&x_3\in.\end\right.$
• При $k\neq<-1>$ и $k\neq<1>$ система является определённой. Решение системы: $\left\<\begin& x_1=-\frac<6>;\\& x_2=\frac<7k+5>\\&x_3=-\frac<2>.\end\right.$

Исследовать СЛАУ $\left\ <\begin& 2kx_1+x_2+x_3=0;\\ & x_1-x_2+kx_3=1;\\ & (k-6)x_1+2x_2-4x_3=-3.\end\right.$ на совместность и найти решение системы при тех значениях параметра, при которых она совместна.

Вновь, как и в предыдущем примере, для того, чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $\widetilde$. Чтобы исследовать систему на совместность и указать количество решений применим метод Крамера. Можно было бы решить и методом Гаусса, однако в предыдущем примере мы его уже использовали, поэтому для разнообразия решим задачу с помощью метода Крамера. Начнём с вычисления определителя матрицы системы. Этот определитель мы получим с помощью готовой формулы.

Значения переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$ будут такими:

Нам остаётся исследовать совместность системы при условии $\Delta=0$. Это равенство возможно при $k=0$ или $k=1$.

Случай $k=0$

Нам остаётся рассмотреть последний случай: $k=1$.

Случай $k=1$

Для наглядности я запишу здесь матрицу системы $A$ и расширенную матрицу системы $\widetilde$, подставив $k=1$:

Если $k=1$, то $\Delta=0$. Это значит, что $\rang≤2$. Рассмотрим миноры второго порядка матрицы $A$. Например, возьмём минор, образованный на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2: $M=\left|\begin2 & 1\\ 1 & -1\end\right|=-3$. Так как $M\neq<0>$, то ранг матрицы $A$ равен 2.

Задача решена, осталось лишь записать ответ.

• При $k=0$ система несовместна.
• При $k=1$ система является неопределённой. Общее решение системы: $\left\<\begin& x_1=\frac<-2x_3+1><3>;\\& x_2=\frac<3>;\\&x_3\in.\end\right.$
• При $k\neq<0>$ и $k\neq<1>$ система является определённой. Решение системы: $\left\<\begin& x_1=\frac<1>;\\& x_2=\frac<1-2k>\\&x_3=-\frac<1>.\end\right.$

Разберём ещё один пример, в котором рассмотрим СЛАУ с четырьмя уравнениями.

Исследовать СЛАУ $ \left \ <\begin& kx_1+x_2+x_3+x_4=1;\\ & x_1+kx_2+x_3+x_4=1;\\ & x_1+x_2+kx_3+x_4=1;\\ & x_1+x_2+x_3+kx_4=1.\end\right.$ на совместность и найти решение системы в зависимости от значений параметра $k$.

Применим метод Гаусса. При записи расширенной матрицы системы поместим первую строку вниз, на место четвёртой строки. А дальше начнём стандартные операции метода Гаусса.

Здесь можно было бы остановиться и рассмотреть случаи $k=1$ и $k\neq<1>$ отдельно. Цель таких действий: разделить вторую, третью и четвёртую строки на $k-1$ при условии $k-1\neq<0>$. Однако пока что полученная нами матрица содержит не столь уж громоздкие элементы, поэтому сейчас отвлекаться на частности я не вижу смысла. Продолжим преобразования в общем виде:

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. До черты расположена преобразованная матрица системы. Ранги матриц $A$ и $\widetilde$ зависят от значения параметра $k$. Рассмотрим три случая: $k=1$, $k=-3$ и случай $k\neq<1>$, $k\neq<-3>$.

Случай $k=-3$

Случай $k=1$

$$x_1+x_2+x_3+x_4=1\; \Rightarrow \; x_1=-x_2-x_3-x_4+1.$$

Случай $k\neq<1>$ и $\neq<-3>$

Продолжим решение методом Гаусса. Так как $k\neq<1>$ и $\neq<-3>$, то $(1-k)(k+3)\neq<0>$. Следовательно, мы можем разделить вторую и третью строки на $1-k$, четвёртую строку – на выражение $(1-k)(k+3)$. С полученной после этого матрицей продолжим операции обратного хода метода Гаусса:

Из последней матрицы имеем: $x_1=x_2=x_3=x_4=\frac<1>$.

• При $k=-3$ система несовместна.
• При $k=1$ система является неопределённой. Общее решение системы: $\left\<\begin& x_1=-x_2-x_3-x_4+1;\\&x_2\in,\;x_3\in,\;x_4\in. \end\right.$
• При $k\neq<-3>$ и $k\neq<1>$ система является определённой. Решение системы: $x_1=x_2=x_3=x_4=\frac<1>$.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Решение задач с параметром методом исследовательского анализа

Как бы нам ни хотелось обратного, но научиться решать задачи с параметром, прочитав краткую инструкцию и выписав несколько формул, не получится. Нам обязательно потребуется аналитическое мышление, то есть способность разбивать информацию на небольшие части, исследовать и делать выводы. Узнаем об этом в статье.

Системы уравнений с параметром

Что мы представляем, когда говорим про аналитику? Возможно, серьезных мужчин и женщин, которые много думают, сравнивают данные и делают на их основе сложные прогнозы. Они в строгих костюмах и очках, с серьезным сосредоточенным лицом.

Я предлагаю погрузиться в аналитику в параметрах. По желанию надеваем серьезный костюм и очки, и вперед.

Немного организационных вопросов перед нашим путешествием. Что подразумевает под собой аналитический способ решения параметров? В первую очередь, это использование алгебраических преобразований и рассуждений без привлечения графиков. Про «Графический способ решения параметров» можно прочесть в отдельной статье.

Как можно преобразовать системы уравнений? Рассмотрим пример.

Решим первое уравнение системы, получаем, что x=2 или

Что мы можем сказать про совокупность и про систему? Совокупность, которая обозначается квадратной скобочкой, выполняется в случае, если выполняется хотя бы одно, любое из ее уравнений. Чтобы выполнялась система, необходимо, чтобы выполнялись все условия, которые в нее включены.

Представим, что система и совокупность — это две дамы.

Система будет дамой категоричной. Ни одно из ее слов или условий не должны быть пропущены, иначе она обидится и не будет с нами сотрудничать.

Назовем уравнение y=3 Кристиной. Кристина очень любит вязаных жабок (x=2) и плюшевых ленивцев (x=-2). Предположим, что Кристина пошла в магазин, чтобы купить новую игрушку. Скорее всего, она купит именно те игрушки, которые ей нравятся, поэтому система

будет обозначать, что Кристина купила жабку, которую очень любит.

означает, что Кристина купила ленивца, которого также очень любит.

Разумеется, она может купить и жабку, и ленивца. Но что, если в магазине не будет одной из этих игрушек или у Кристины не хватит денег? Она купит только одну из них. А как показать это на языке математики? Совокупностью из двух систем:

Эта совокупность будет выполняться, даже если Кристина купит только жабку или только ленивца.

Так можно преобразовать любую систему или совокупность. Немного усложним в систему из двух совокупностей:

Переведем с языка математики. Нам было нужно, чтобы одновременно выполнялось А или В и С или D, то есть хотя бы по одному условию из каждой совокупности. Нам была необходима ситуация (А или В) и (С или D).

Следовательно, если выполняется условие А, то обязательно должно выполняться и условие С или D. Образуются две системы: “А и С” или “A и D”. Если выполняется условие В, то обязательно должно выполняться условие C или D, получаются две системы: “В и С” или “В и D”.

Для выполнения самой первой системы нужно выполнение хотя бы одной из получившихся четырех систем. Тем самым мы получаем совокупность из четырех систем: (А и С) или (А и D) или (В и С) или (В и D).

Решение систем уравнений на примере

Рассмотрим на примере, как можно решить систему уравнений. Для этого запасемся терпением, подготовим наши блокноты и ручки и начнем погружение в мир аналитики.

Пример 1. Найдите все значения параметра а при каждом из которых система уравнений имеет ровно 4 решения.

Решение.

Шаг 1. Проанализируем второе уравнение системы и попробуем преобразовать его. Перенесем все слагаемые в одну сторону:

x 2 — 4y — 4x + xy=0

Вынесем общие множители за скобку:

Если произведение двух множителей равно 0, то каждый множитель равен 0. Следовательно, решением этого уравнения будет совокупность

Шаг 2. Получаем систему из уравнения и совокупности. Преобразуем ее рассмотренным ранее способом.

Шаг 3. Вспомним, что сейчас мы аналитики и попробуем определить, в каких случаях у совокупности будет четыре решения.

Представим, что у нас есть две двухрублевые монеты. Как сделать из них четыре монеты? Разменять каждую двухрублевую монету на две однорублевые.

Шаг 4. Нам необходимо, чтобы совокупности каждая система имела ровно два решения.

Шаг 5. В каких случаях у квадратного уравнения будет два решения? Если коэффициент перед x2 не будет равен 0. В уравнении

ax 2 + ay 2 + 5ay + 1 = (5a-2)x получаем, что a ≠ 0.

Проверим. Для этого подставим значение a=0 в совокупность:

Из первого уравнения системы получаем, что

Тогда решением первой системы будет точка

Во второй системе решений не будет, поскольку при x = 4 не выполняется равенство 1 = -2 * 8. Всего будет одно решение, что не подходит к условию.

Шаг 6. А что будет, если уравнения x = -y и x = 4 совпадут? У нас получится совокупность из двух совершенно одинаковых систем. Их решения совпадут, то есть их будет не 4, а 2.

Таким образом, мы получаем новое условие:

— y ≠ 4 => y ≠ -4 при x = 4. То есть точка (4; -4) не может быть решением.

Найдем, чему равен параметр в этом случае, для этого подставим значения x и y в первое уравнение:

a * 4 2 +a * (- 4) 2 + 5a(- 4) + 1 = (5a — 2)4

16a + 16a — 20a + 1 = 20a — 8

Шаг 7. Теперь рассмотрим отдельно каждую из двух систем и найдем, при каких значениях параметра а они будут иметь по два решения.

В первое уравнение первой системы подставим x=-y, получаем:

a(- y) 2 + ay 2 + 5ay + 1 = (5a — 2)(- y)

2ay 2 + 5ay + 1 + 5ay — 2y = 0

2ay 2 + y(10a — 2) + 1 = 0

Мы получили обычное квадратное уравнение. Оно будет иметь два решения, если его дискриминант будет строго больше 0:

D = (10a — 2) 2 — 4 * 2a * 1 = 100a 2 — 40a + 4 — 8a = 100a 2 — 48a + 4

D > 0 => 100a 2 — 48a + 4 > 0

Решая неравенство «Методом интервалов», получаем, что

Шаг 8. Аналогично решаем вторую систему.

Подставим х = 4 в первое уравнение системы:

a * 4 2 + ay 2 + 5ay + 1 = (5a — 2) * 4

16a + ay 2 + 5ay + 1 = 20a — 8

ay 2 + 5ay + 9 — 4a = 0

Чтобы у этого уравнения было два решения, его дискриминант должен быть строго больше 0.

D = 25a 2 — 4a *(9 — 4a) = 25a 2 — 36a + 16a 2 = 41a 2 — 36a = a(41a — 36)

Решаем неравенство методом интервалов и получаем, что a

Шаг 9. В этот момент нам, как аналитикам, необходимо задуматься: а как объединить эти решения? Брать все получившиеся значения а или только те, которые удовлетворяют каждому из интервалов?

Представим, что нам нужно организовать праздник, на который придут два друга. Мы точно знаем, что один из них пьет только апельсиновый сок, а второй только апельсиновый или яблочный соки. Какой сок мы купим, чтобы все были довольны? Апельсиновый.

Точно также и здесь: чтобы обе системы были “довольны” и имели по два решения, нужно, чтобы все значения параметра а удовлетворяли условиям каждой из систем. Поэтому нам необходимо найти пересечение этих решений.

Шаг 10. Заметим, что

Шаг 11. Не забудем, что

Эту точку также нужно выколоть из ответа.

Ответ:

Выдохнем и вытрем испарину со лба: параметр решен. Если исключить достаточно трудоемкие вычисления, то остается только немного порассуждать.

Параметр как равноправная переменная

В рассмотренных ранее случаях параметр был темной лошадкой: он почти постоянно был на фоне, появлялся только под конец, чтобы внести свой вклад и показать свои способности, то есть значения. Но что, если вывести параметр на первый план?

Рассматривая функции, мы привыкли, что у — значение функции, которое зависит от переменной х. Однако в некоторых задачах с параметром от переменной х может зависеть и сам параметр.

В этом случае в борьбе между “у” и “а” выигрывает параметр и занимает место у. То есть параметр будет вести себя точно так же, как обычная функция, а изменение значения х будет менять и значение параметра.

Разумеется, можно построить и график такой функции, просто ось ординат будет подписана как “а”, а не “у”.

А может ли быть наоборот? Да. Параметрическую плоскость хОа можно использовать в двух случаях:

• параметр а — зависимая переменная, х — независимая;
• х — зависимая переменная, параметр а — независимая.

Как определить, какой из случаев использовать в конкретном примере? Нужно посмотреть, каким способом удобнее выразить одну переменную через другую. Например, в уравнении x 2 + 5x — a = 0 намного удобнее выразить значение параметра a = x 2 + 5x, чем пытаться вывести значение х. В этом случае мы получим параболу.

Когда можно прибегнуть к такому методу решения параметров? Обычно его используют, если в уравнении, неравенстве или их системах есть только две переменные, одна из которых является параметром.

Пример 2. Найдите все значения параметра а, при которых система имеет хотя бы одно решение на промежутке [-3;1].

Решение. Если посмотреть на второе неравенство системы, то заметно, что удобнее выразить параметр через переменную х. Поэтому при решении параметр будет зависимой переменной, а х — независимой.

Шаг 1. Разберем первое неравенство системы и раскроем модули четырьмя способами. Подробнее про модули можно узнать в статье «Модуль». Также в дальнейшем будем использовать «Графический способ решения параметров».

Рассмотрим, как все условия будут выглядеть на графике.

— плоскость, которая включает все значения х, больше 0.

включают все точки, которые лежат выше линии а = 0.

включает все, что лежит ниже прямой 7 — x.

То есть каждый раз мы как бы разрезаем плоскость по одной из линий и отбрасываем все, что не удовлетворяет условию.

В отличие от графиков обычных уравнений, неравенства задают не линию, а часть плоскости. То есть его решению будут удовлетворять все точки, которые попадут в нужную часть плоскости.

Наложим все три условия друг на друга и найдем место их пересечения.

Треугольник, в котором они пересекаются, и будет задаваться условием

Мы как бы трижды отрезали все ненужное, и в результате из всей плоскости у нас остался лишь маленький треугольник.

Аналогичным способом получаем еще три треугольника.

Объединив все графики, получим квадрат, ограниченный прямыми

Шаг 2. Рассмотрим второе неравенство системы и преобразуем его.

x 2 + 4x < 8a + 36

Это часть плоскости, ограниченная параболой

Построим ее, вершина параболы будет лежать в точках:

Поскольку знак неравенства строгий, то и сама парабола будет обозначаться пунктирной линией. То есть значения, лежащие на этой линии, не будут входить в нашу плоскость.

Шаг 3. Решением системы будет та часть плоскости, где парабола наложится на квадрат.

Шаг 4. По условию решения должны лежать в промежутке от -3 до 1. Построим еще одну плоскость.

Нам нужно найти значения параметра а, которые лежат в промежутке пересечения всех трех плоскостей. Как их найти? Посмотреть значения по вертикальной оси, то есть по оси параметра.

Нам нужны наименьшее, наибольшее значения и все, что лежит между ними. То есть

Шаг 5. Заметим, что точка А — точка пересечения прямой a = — x — 7 и параболы. Найдем точку их пересечения.

Поскольку точка А лежит в промежутке [-3;1], то x₂ не подходит. Прямая и парабола пересекаются в точке x = — 2.

Найдем, чему равно значение параметра в точке А.

Шаг 6. Точка В — это вершина квадрата. А значит, точка В имеет координаты (0;7).

Шаг 7. Мы нашли значение параметра

Это и будет ответ.

Ответ:

Мы можем расслабиться, выйти из образа аналитика, снять очки и отдохнуть. Главное, мы можем гордиться собой, ведь мы разобрали два новых принципа решения параметров.

Фактчек

• Аналитический способ решения параметров — использование алгебраических преобразований и рассуждений без привлечения графических интерпретаций.
• Для решения параметров аналитическим способом важно уметь преобразовывать уравнения, неравенства и их системы.
• При решении параметров аналитикой важно уметь анализировать функции, их поведение и свойства. Это позволит прийти к правильным выводам при решении и правильно найти значения параметра.
• Некоторые примеры с параметров выгоднее решать в плоскости хОа. В этой плоскости параметр будет либо зависимой, либо независимой переменной.

Проверь себя

Задание 1.

В каких случаях у совокупности есть решения?

1. Если выполняется хотя бы одно из ее условий.
2. Если выполняются все условия.
3. В любом случае, даже если ни одно из условий не будет выполнено.
4. Нет верного ответа.

Задание 2.

В каких случаях у системы есть решения?

1. Если выполняется хотя бы одно из ее условий.
2. Если выполняются все условия.
3. В любом случае, даже если ни одно из условий не будет выполнено.
4. Нет верного ответа.

Задание 3.

Дана система из совокупности и уравнения. Как ее можно преобразовать?

1. Все элементы можно записать отдельно.
2. Все элементы можно записать только в систему.
3. Можно получить совокупность двух систем.
4. Можно получить систему из двух совокупностей.

Задание 4.

Может ли параметр быть независимой переменной в функции?

1. Не может.
2. Может.
3. Параметр не может быть переменной в функции, это просто число.
4. Нет верных ответов.

Задание 5.

Какая часть плоскости задается неравенством x>0

1. Все, что лежит выше оси х, включая саму ось.
2. Все, что лежит выше оси х, исключая саму ось.
3. Все, что лежит правее оси х, включая саму ось.
4. Все, что лежит правее оси х, исключая саму ось.

Ответы: 1. — 1 2. — 2 3. — 3 4. — 2 5. — 4