Найдите все значения параметра a при каждом из которых система уравнений

Задания по теме «Системы уравнений с параметром»

Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система \begin(x-4)^2+(|y|-4)^2=9,\\ x^2+(y-4)^2=a^2\end имеет ровно 2 решения.

Решение

Если y \geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность \phi _1 с центром в точке C_1 (4; 4) радиуса 3 , а если y < 0, то оно задаёт окружность \phi _2 с центром в точке C_2 (4; -4) того же радиуса.

При a > 0 второе уравнение задаёт окружность \phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность \phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей \phi _1 и \phi _2.

Координаты точки касания окружностей \phi и \phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1 (1; 4) и B_1 (7; 4) . То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности \phi и \phi _1 касаются. При a > 7 и a < 1 окружности \phi и \phi _1 не пересекаются, при 1 < a < 7 окружности \phi и \phi _2 имеют 2 общие точки.

Далее, из точки C проведём луч CC_2 и обозначим A_2 и B_2 точки его пересечения с окружностью \phi_2 , где A_2 лежит между C и C_2. Заметим, что длина отрезка CC_2= \sqrt <4^2+(4-(-4))^<2>>= \sqrt <80>= 4\sqrt 5.

При a < CA_2 или a > CB_2 окружности \phi и \phi_2 не пересекаются. При CA_2 < a < CB_2 окружности \phi и \phi _2 имеют 2 общие точки. При a =CA_2=4\sqrt 5-3 или a=CB_2=4\sqrt 5+3, окружности \phi и \phi _2 касаются.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность \phi с одной из окружностей \phi _1 и \phi _2 имеет 2 общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как 1<4\sqrt 5-3<7<4\sqrt 5+3, то условию задачи удовлетворяют значения a\in (1;4\sqrt 5-3) \cup (7; 4\sqrt 5+3).

Найдите все значения параметра a при каждом из которых система уравнений

Задания Д17 C6 № 505848

Найдите все значения a, при каждом из которых множество точек (x; y), удовлетворяющих условию

будут иметь три общие точки с кривой, заданной уравнением

Если какая-то точка подходит в систему и в уравнение кривой, то и точка тоже подходит. Поэтому для получения нечетного числа общих точек требуется, чтобы абсцисса одной из общих точек была равна нулю. Тогда это либо либо

Случай 1. Это точка Тогда из уравнения кривой получим и само уравнение примет вид Ясно, что при других точек пересечения нет. Если же то получаем имеющее корни Итого три точки пересечения.

Случай 2. Это точка Тогда из уравнения кривой получим и само уравнение примет вид Ясно, что при подходят и это еще две точки пересечения.

Если же то получаем откуда Однако для них получаются те же точки пересечения, которые мы уже нашли.

Примечание. Если решать задачу графически, то система задает равносторонний треугольник со стороной 4, а кривая представляет собой окружность с центром в центре этого треугольника и радиусом Устраивающие нас две ситуации соответствуют случаям вписанной и описанной окружности треугольника.

Системы с параметром

Найдите все значения параметра b, при которых система $$ \left\<\beginx=-|b-y^<2>|\\ y=a(x+b^<2>)\end\right.$$ имеет решение при любом значении параметра а.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Текстовое решение пока отсутствие. Вы можете посмотреть видео подробного решения в начале варианта.

Задание 3334

Найдите все значения a, при каждом из которых система $$\left\<\beginx\sin a-y\cos a+3\sin a+\cos a=0\\ 2x+y-1=0\end\right.$$ имеет решение (x;y) в квадрате $$-4\leq x\leq -1 , 2\leq y\leq 5$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3429

Найдите все значения параметра р, при каждом из которых система уравнений имеет два различных решения: $$\left\<\begin(y-1)^<2>=x-|x|\\(x-p)^<2>+2p+y=25\end\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3865

Найдите все значение параметра a , при которых система $$\left\<\begin9x^<2>-6xy+y^<2>+6x-13y+3=0\\13x^<2>+6xy+10y^<2>+16x+2y-4ax-6ay+a^<2>-2a+3=0\end\right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4022

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений $$\left\<\beginx^<2>-2xy-3y^<2>=8\\2x^<2>+4xy+5y^<2>=a^<4>-4a^<3>+4a^<2>-12+\sqrt<105>\end\right.$$имеет хотя бы одно решение.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Так как обы минимальных значения больше нуля, то сама функция меньше нуля быть не может, отсюда (1) не имеет решений, и ответом будет только промежутки с (2)

Задание 4192

Найти все значения параметра $$a$$, при каждом из которых существует хотя бы одно $$x$$, удовлетворяющее условию: $$\left\<\beginx^<2>+(5a+2)x+4a^<2>+2a<0\\x^<2>+a^<2>=4\end\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4400

Найти все значения параметра a, при каждом из которых существует хотя бы одно x, удовлетворяющее системе уравнений: $$\left\<\begin|x^<2>-5x+4|-9x^<2>-5x+4+10x|x|=0\\x^<2>-2(a-1)x+a(a-2)=0\end\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

2. $$\left\<\begin1\leq x_<1>\leq4\\1\leq x_<2>\leq4\end\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\<\begin1\leq a\leq4\\1\leq a-2\leq4\end\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\<\begin1\leq a\leq4\\3\leq a\leq6\end\right.$$

Общим решением будет объединение: $$a\in<-1>\cup[1;6]$$

Задание 4577

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4776

При каких значениях параметра p система $$\left\ <\beginx^<2>+2px+3p^<2>+3p+3\leq 3\sin y — 4\cos y\\ 0\leq y\leq 2\pi \end\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4823

Найдите все значения параметра а при каждом из которых система $$\left\<\begin1-\sqrt<|x-1|>=\sqrt<7|y|>\\49y^<2>+x^<2>+4a=2x-1\end\right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Тогда система примет вид : $$\left\<\beginm+n=1\\m^<4>+n^<4>=-4a\end\right.(*)$$. Если пара чисел $$(m_<0>;n_<0>)$$ является решением системы (*), то пара $$(n_<0>; m_<0>)$$ также её решение :

1) Пусть $$m_<0>\neq n_<0>, m_<0>, n_<0>>0$$. Тогда $$\left[\begin\left\<\begin\left | x-1 \right |=m_<0>^<2>\\7\left | y \right |=n_<0>^<2>\end\right.\\\left\<\begin\left | x-1 \right |=n_<0>^<2>\\7\left | y \right |=m_<0>^<2>\end\right.\end\right.(**)$$. Каждая система совокупности имеет четыре решения, тогда данная система имеет 8 различных решений , что не удовлетворяют условию задачи .

2) Пусть одно из значений $$m_<0>$$ или $$n_<0>$$ равно нулю, тогда пары (0;1) и (1;0)-решения системы(*), -4a=1, откуда $$a=-\frac<1><4>$$ . В этом случае совокупность (**) примет вид :

$$\left[\begin\left\<\begin\left | x-1 \right |=0\\7\left | y \right |=1\end\right.\\\left\<\begin\left | x-1 \right |=1\\7\left | y \right | =0\end\right.\end\right.$$, откуда получим 4 решения данной системы : $$(1; \frac<1><7>)$$, $$(1; -\frac<1><7>)$$, $$(2;0)$$, $$(0;0)$$

$$m_<0>=\frac<1><2>$$, $$a=-\frac<1><32>$$ и система (*) имеет одно решение $$(\frac<1><2>;\frac<1><2>)$$. В Этом случае совокупность (**) примет вид :

Докажем, что при $$a=-\frac<1><4>$$ и $$a=-\frac<1><32>$$ других, кроме найденных решений, данная система не имеет .

Тогда $$m^<4>+n^<4><m+n$$, т.е. $$m^<4>+n^<4><1$$, что противоречит второму уравнению системы . Следовательно, при $$a=-\frac<1><4>$$ других решений системы нет и $$a=-\frac<1><4>$$ удовлетворяет условию .

Задание 5061

При каких значениях параметра система уравнений $$\left\<\begin(x^<2>+(y-7)^<2>-9)((x-4)^<2>+(y-3)^<2>-1)=0\\ax-y-4a-2=0\end\right.$$ имеет четыре решения?

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(*) x^<2>+(y-7)^<2>=9$$ — окружность с центром $$O_<1>(0;7)$$ и радиусом $$R=3$$

$$(**)(x-4)^<2>+(y-3)^<2>=1$$ – окружность с центром $$O_<2>(4,3)$$ и радиусом $$R=1$$

$$y=a(x-4)-2$$ — пучок прямых ,проходящих через точку $$A(4,-2)$$

Пусть $$B_<1>C$$ — точки касания прямой $$y=a(x-4)-2$$ с окружностью (**) с , а, $$D_<1>E$$ — с окружностью (*)

Система будет иметь 4 решения , если прямая будет пересекать окружности в 4 точках. На рисунках слева оранжевым цветом выделены пограничные случаи расположения прямой в таком случае (4 решения от момента касания в точке D до момента касания в точке C при повороте прямой против часовой стрелки ,не включая данные значения)

Найдем соответствующие значения параметра a .Воспользуемся формулой нахождения расстояния от точки с координатами $$(x_<0>,y_<0>)$$ до прямой $$ax+by+c=0$$: $$p=\frac<\left | ax_<0>+by_<0>+c \right |><\sqrt+b^<2>>>$$

С другой стороны , расстояние от точки $$O_<1>$$ до прямой $$y=a(x-4)-2$$ равно радиусу окружности (*) , откуда $$\frac<\left | 4a+9 \right |><\sqrt+1>>=3\Rightarrow$$ $$(4a+9)^<2>=9(a^<2>+1)\Leftrightarrow$$ $$16a^<2>+72a+81=9a^<2>+9\Leftrightarrow $$$$7a^<2>+72a+72=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begina=-\frac<36+6\sqrt<22>><7>\\a=-\frac<36-6\sqrt<22>><7>\end\right.$$

Поскольку касание происходит в точке D, то угловой коэффициент прямой в случае касания в точке D должен быть меньше, чем в случае касания в точке E, поэтому $$a=-\frac<36+6\sqrt<22>><7>$$

Аналогичным образом находим значения параметра в случае касания с окружностью (**):

Касание прямой с окружностью в точке C соответствует значению $$a=-2\sqrt<6>(a=2\sqrt<6>$$ — касание в точке B). Окончательно получим , что система имеет 4 решения при $$a_<1,2>=-\frac<36+6\sqrt<22>><7>;-2\sqrt<6>.$$