Как построить параболический цилиндр

6.2. Цилиндрические поверхности

Или цилиндры. Под цилиндром также понимают геометрическое тело.

И это не совсем то, что обычно подразумевает обыватель – класс цилиндрических поверхностей не ограничивается чёрным цилиндром на голове:

Задача 167

Построить поверхность, заданную уравнением

…что за дела?! Не опечатка ли здесь? Вроде как дано уравнение эллипса…

Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» принимает любые значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности.

Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром. Эллипс (на любой высоте) называется направляющей цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют).

Ось является осью симметрии поверхности (но не её частью!).

Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению .

Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.

В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность:

Задача 168

Построить поверхность, заданную уравнением

Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».

Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу.

Полученные окружности (направляющие цилиндра) аккуратно соединяем 4 параллельными прямыми (образующими цилиндра):
Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий!

Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению . Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству , а неравенство задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.

Часто эту поверхность некорректно называют круговым цилиндром. Круглым! Круговой цилиндр, строго говоря – есть тело, по той причине, что его направляющей является круг. И тело, кстати, определяется неравенством .

Задача 169

Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость

Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «икс» принимает любые значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность – с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все значения, то построенная окружность порождает цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:

На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.

Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.

Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку:

Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).

Давайте заодно проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.

А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность (не круг!) единичного радиуса , с которой мы начинали построение.

Задача 170

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости

Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат – выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце книги.

Цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:
– данное уравнение (по знакомым мотивам линий 2-го порядка) задаёт цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси .

Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.

Параболические цилиндры

Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола.

Задача 171

Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.

Не мог удержаться от этого примера =)

Решение: идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра):

Напоминаю полезный технический приём: если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.
Теперь вторая часть задания, отыскание проекций:

1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола .

2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось

3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .

Задача 172

Построить параболические цилиндры:

а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;

б) на промежутке

В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину.

Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий – если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа 😉

Гиперболические цилиндры

Направляющими таких цилиндров являются гиперболы.

Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, и поэтому я ограничился единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра .

Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная «школьная» гипербола из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.

Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка в пространстве называется поверхность, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат

• Здесь — действительные числа, называемые коэффициентами. В зависимости от коэффициентов это уравнение может определять поверхность, линию или точку (например, уравнению отвечает точка или пару плоскостей (например, уравнению отвечает пара плоскостей и ), а также может не определять никакого множества точек (например, ).

Рассмотрим частные виды поверхностей второго порядка. Сфера с центром в точке и радиусом имеет уравнение где — заданные числа (рис. 2.18).

Раскрыв скобки и перенеся в левую часть, получим Нетрудно проверить, что уравнение второй степени относительно в котором коэффициенты при равны, а члены с произведениями координат отсутствуют, представляет собой уравнение сферы (кроме случаев, когда это уравнение не определяет никакой поверхности).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Цилиндры

Цилиндрической называется поверхность, описываемая прямой, остающейся параллельной некоторому направлению и пересекающей данную линию. Последняя называется направляющей цилиндрической поверхности, а сама прямая — образующей. Пусть, например, образующие цилиндрической поверхности параллельны оси и направляющей служит эллипс (рис. 2.19)

в плоскости с уравнением Эта поверхность называется эллиптическим цилиндром. Пусть — произвольная точка этого цилиндра, а точка — проекция на плоскость

Ясно, что абсциссы и ординаты точек и совпадают. Так как точка лежит на эллипсе, то ее координаты х и у удовлетворяют уравнению (2.55). Но тогда этому уравнению удовлетворяют координаты х и у точки цилиндра. Значит, (2.55) есть уравнение цилиндра.

Итак, уравнение (2.55) на плоскости определяет эллипс, а в пространстве — эллиптический цилиндр с образующей, параллельной направляющей которого является указанный эллипс.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Упражнение

1) гиперболический цилиндр с уравнением и образующей, параллельной оси

2) параболический цилиндр с уравнением и образующей, параллельной оси

Поверхности второго порядка

Определение. Поверхности второго порядка называют геометрическое место точек пространства, декартовые координаты которых удовлетворяют уравнению второй степени.

Сфера и ее уравнение

Сферой называют геометрическое место точек пространства, равноудаленное от заданной точки — центра сферы.

Если центром сферы является точка а радиус тогда уравнение сферы будет:

Если центр сферы находится в начале координат и радиус тогда уравнение сферы будет:

Цилиндрические поверхности

Поверхность называется цилиндрической, если она образуется прямой (образующая), параллельно к заданной прямой и которая проходит через заданную линию (направляющая линия). Пример цилиндрической линии изображен на рис. 2.24

Если образующая цилиндрической поверхности параллельна оси а образующая лежит на плоскости и задана уравнением:

тогда уравнение цилиндрической поверхности будет:

Уравнение обозначает цилиндрическую поверхность с образующей, что параллельна оси уравнение — цилиндрическая поверхность с образующей, что параллельна оси

Цилиндры второго порядка

а) Эллиптичным цилиндром называется поверхность (рис. 2.25), каноничное уравнение которой имеет вид:

Если то получим круговой цилиндр:

б) Гиперболичным цилиндром называется поверхность, уравнение которой имеет вид (рис. 2.26):

в) Параболическим цилиндром называется поверхность, каноничное уравнение которой имеет вид (рис. 2.27):

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, каноничное уравнение которой имеет вид (рис. 2.28):

Отрезки — называются полуосями эллипсоида.

Гиперболоиды

а) однополосный гиперболоид.

Однополосным гиперболоидом (рис. 2.29) называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид :

б) Двуполостный гиперболоид. Двуполостным гиперболоидом (рис. 2.30) называется поверхность, каноничное уравнение которой имеет вид:

Параболоиды

а) Эллиптическим параболоидом (рис. 2.31) называется поверхность, каноничное уравнение которой имеет вид:

б) Гиперболичным параболоидом (рис. 2.32) называется поверхность, каноничное уравнение которой имеет вид:

Конические поверхности

конической поверхностью называется поверхность, которая описана прямой, что проходит через точку — вершину конуса — и что пересекает заданную линию — направляющую конуса.

Уравнение конуса (рис. 2.33) второго порядка имеет вид:

Поверхность вращения

Пусть в плоскости задана линия что имеет уравнение Тогда чтобы получить уравнение поверхности, что образована вращением линии что лежит в плоскости около оси нужно в уравнение этой линии заменить на Искомое уравнение поверхности вращения будет

Аналогично правила будут иметь место и по отношению к поверхностям, которые образуют обращение плоских линий около других координатных осей.

Примеры: 1) уравнение поверхности, что образуются вращением эллипса около оси будет (эллипсоид вращения).

2) уравнение поверхности, что образуются вращением гиперболы около оси будет или (двуполостный гиперболоид).

Примеры решения задач:

Задача 2.126

Обозначить координаты центра сферы и ее радиус:

Решение. Предоставим заданное уравнение в виде (2.43), для этого: 1) объединяем в группы члены, которые содержат одноименные координаты;

2) выделим в группах полные квадраты. Получим:

Соизмеряя с (2.43), получим Следует, центр сферы — точка радиус

Задача 2.127

Эллипс с полуосями 5 и 3 вращается около своей большей оси. которая совпадает с началом координат. Сложить уравнение поверхности, что описывает эллипс при вращении.

Решение. Сложим каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат, который размещен в плоскости

чтобы получить уравнение поверхности, которая образована вращением в плоскости около оси необходимо в уравнении эллипса заменить на Получим эллипсоид вращения, который протянул вдоль оси

или

Задача 2.128

Сложим уравнение конуса с вершиной в начале координат и направляющей:

Решение. Канонические уравнения образующих, что проходят через вершину конуса и точки направляющей, будут:

Исключим в заданных уравнениях. Изменяя через обозначим и из остальных двух уравнений:

подставим полученные значения и в первое уравнение направляющей, получим:

или

Задача 2.129

Какие поверхности обозначаются уравнениями:

Решение. Каждое из уравнений содержит только две переменные и и обозначает на плоскости кривые: 1) круг, 2) эллипс, 3) параболу, 4) гиперболу.

В пространстве же каждое из них обозначается цилиндрическую поверхность с образующими, что параллельны оси так как эти уравнения не содержат переменной . Направляющими этих цилиндрических поверхности являются указанные кривые:

— уравнение прямого углового цилиндра;

— уравнение эллиптического цилиндра;

— уравнение параболического цилиндра;

— уравнение гиперболичного цилиндра.

Задача 2.130

Гипербола с полуосями 3 и 4 вращается около своей мнимой оси, которая совпадает с осью Центры гиперболы совпадает с началом координат. Сложить уравнение поверхности, которое получим при вращении гиперболы.

Решение. Сложим каноничное уравнение гиперболы с центром в начале координат, что находятся в плоскости

Чтобы сложить уравнение поверхности, образованной вращением гиперболы, что находится в уравнение гиперболы вместо подставить

или

Следует, получим однополосный гиперболоид вращения:

Понятие о поверхности второго порядка

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению.

Общее уравнение поверхности второго порядка, основные определения

Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства , описывается уравнением , левая часть которого является многочленом второй степени относительно переменных :

где коэффициенты уравнения при текущих переменных ; — свободный член; и по крайней мере один из коэффициентов отличается от нуля

Уравнение (10.27) называют общим уравнением поверхности второго порядка. Вид поверхности и ее расположение относительно координатных плоскостей зависит от значений параметров в (10.27).

Если не существует ни одной точки , которая удовлетворяет общее уравнение, говорится, что оно определяет мнимую поверхность.
Поверхность называется вырожденной, если ее общее уравнение описывает точку, одну или две плоскости. К примеру:

уравнение точки в

уравнения двух плоскостей, параллельных

уравнения двух биссекторных плоскостей.

При изучении поверхностей второго порядка решаются две взаимно обратные основные задачи:
1) по известным геометрическим свойствам точек поверхности составить уравнение соответствующей поверхности;
2) по известным уравнением поверхности установить геометрические свойства ее точек.

Примером решения первой основной задачи является построение уравнения сферы (9.2). Уравнение других важнейших поверхностей рассматриваются ниже.

Цилиндрические и конические поверхности

Цилиндрической поверхностью, или просто цилиндром, называется поверхность, образованная движением прямой, перемещается параллельно самой себе вдоль фиксированной линии (кривой). Подвижную прямую называют образующей, а фиксированную кривую — направляющей цилиндрической поверхности. Направляющей может быть любая сомкнутая или разомкнутая линия.

Цилиндром второго порядка называется цилиндрическая поверхность, направляющей которой является кривая второго порядка: эллипс (круг), гипербола, парабола. Название цилиндра определяется названием его направляющей. Если образующая параллельна одной из координатных осей, а направляющая лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси, то уравнение цилиндра совпадает с уравнением направляющей. При геометрической интерпретации изображается, как правило, часть поверхности между двумя плоскостями, перпендикулярными образующей.
К примеру:

уравнения эллиптического цилиндра (рис. 10.9 а)

уравнения гиперболического цилиндра (рис. 10.9 б)

уравнения параболического цилиндра (рис. 10.9 в).

Отсутствие переменной в приведенных уравнениях означает, что аппликанта точек поверхности может быть любым действительным числом, потому что коэффициент при переменной в уравнениях следует считать равными нулю. Например, уравнение параболического цилиндра можно записать в виде: . Итак, образующая цилиндра параллельна оси, совпадающей с переменной, которая отсутствует в уравнении поверхности.

Если в уравнениях эллипса и гиперболы положить , то получим соответственно круговой и равносторонний гиперболический цилиндры.

Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, образованная движением прямой, проходящей через заданную точку, вдоль фиксированной кривой. Подвижную прямую называют образующей, заданную точку — вершиной, а фиксированную кривую — направляющей конуса. Если образующей является кривая второго порядка, то поверхность называется конусом второго порядка.
На рис. 10.10 изображен конус второго порядка, определяется уравнением

с вершиной в начале координат, направляющей которого является эллипс

в плоскости

Поверхность симметрична относительно начала координат, а координатные плоскости является ее плоскостями симметрии. Множество точек поверхности с неотъемлемыми (неположительные) аппликатами называется верхней (нижней) полостью конуса.

Если направляющей конуса является круг , то он называется круговым.

Эллипс, парабола, гипербола — кривые второго порядка — можно получить сечением прямого кругового конуса плоскостями, которые не проходят через его вершину (рис. 10.11). А именно: если плоскость пересекает только одну полость конуса и непараллельных одной из его образующих, то кривой сечения является эллипс; в частном случае — круг;
если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, то результат сечения — парабола;
если плоскость сечения пересекает обе полости конуса, то кривой сечения является гипербола.

Исследование формы поверхностей второго порядка методом сечений

Приведенные выше уравнения поверхностей второго порядка складывались по геометрическим свойствам их точек в соответствии с определений поверхностей. Для решения обратной задачи (по данным уравнением поверхности определить ее вид) применяется метод сечений, суть которого заключается в следующем:

1) анализируют поверхность, устанавливая за ее уравнением линии пересечения (сечения) данной поверхности координатными плоскостями параллельными им;

2) синтезируют определенные на предыдущем шаге геометрические свойства поверхности, что позволяет представить вид поверхности и изобразить ее.

Продемонстрируем применение метода сечений к исследованию уравнения эллиптического параболоида:

Исследование предполагает такие шаги:
1) найдем линии пересечения поверхности (10.28) с плоскостью и плоскостями, параллельными ей :

а) , то уравнение (10.29) удовлетворяют лишь координаты точки , то есть плоскость является касательной к данной поверхности;
б) , то получаем воображаемую линию, поскольку плоскости заданную поверхность не пересекают;
в) , то уравнение (10.29) можно записать в виде:

то есть сечением поверхности плоскостями, параллельными , есть эллипсы, полуоси которых увеличиваются вместе с увеличением (рис. 10.12);

2) установим линию пересечения поверхности с плоскостью :

Это уравнение параболы, расположенной в плоскости , с осью симметрии .

3) определим (аналогичным образом) сечение поверхности плоскостью : это парабола, которая описывается уравнением , и расположена в плоскости (с осью симметрии ).
4) изображаем согласно рассмотренным выше соответствующие линии (рис. 10.12), что позволяет составить представление о форме исследуемой поверхности. Наконец намечаем обвод — линию, получается как множество точек прикосновения к поверхности прямых, параллельных выбранном направления проектирования.

Аналогично осуществляется построение параболоида , сечения которого — параболы ветвями вниз, и параболоидов, оси которых совпадают с координатными осями . Уравнение таких поверхностей получаемых из рассмотренного выше с помощью циклической перестановки переменных.

Поверхностью вращения называется поверхность, для которой каждый из ее сечений плоскостью, перпендикулярной одной из координатных осей или произвольной оси , является кругом. Круговой конус и круговой цилиндр являются примерами таких поверхностей: конус образуется вращением вокруг оси прямой, проходящей через начало координат, а цилиндр — прямой, параллельной оси , причем прямые не принадлежат плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Уравнения поверхностей, симметричные относительно координатных осей или / и координатных плоскостей, называют каноническими, или стандартными.

В заключение отметим, что приведенные сведения используются при изучении интегрирования функций двух переменных и является фундаментом для более глубокого изучения теории поверхностей второго порядка.

Далее в таблице 10.1 приводятся канонические уравнения и изображения важнейших поверхностей второго порядка.

Важнейшие поверхности второго порядка Таблица 10.1

Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности.

Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей , если для любой точки M₀

этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей , целиком принадлежит

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).

Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность имеет

уравнение f(x,y)=0, то S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ.

Кривая, задаваемая уравнением f(x,y)=0 в плоскости z=0, называется направляющей цилиндрической

поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность