Как построить лачх

Синтез корректирующих устройств САР по ЛЧХ. Построение желаемой ЛАЧХ в низкочастотном диапазоне. Синтез корректирующих устройств САР по ЛЧХ. Построение желаемой ЛАЧХ в средне и высокочастотном диапазонах , страница 2

На среднечастотном участке желаемая ЛАХ в наибольшей степени зависит от требования к динамическим показателям качества регулирования, например, показателю колебательности, времени регулирования и перерегулирование.

На этом участке находится частота среза ω_с и определяется запас устойчивости по фазе.

СЧ – участок начинают строить со своего отрезка, прилегающего к частоте среза ω_с .

Для обеспечения заданных динамических свойств наклон среднечастотной асимптоты L_ж(ω) всегда должен быть равен

-20 дБ/дек. Ось абсцисс она пересекает в точке lgω_с .

Частота среза ω_с в данном методе играет роль граничной частоты полосы пропускания, в этой точке амплитуда выходного сигнала становится равной единице.

Длина СЧ — участка желаемой ЛАЧХ ограничивается запасом устойчивости по модулю , который откладывается вверх и вниз по оси ординат.

Приближенно длина СЧ — участка равна l = 1 … 1,5 декады, причем вправо и влево от lgω_с длина асимптоты составляет 0,5l.

В этом случае в системе будет обеспечено перерегулирование

Если качество регулирования системы

оценивается по величине

перерегулирования σ% и времени

регулирования t_p, то, задавшись

максимально допустимыми значения

указанных показателей следует

воспользоваться номограммой.

По заданной величине

перерегулирования (например, σ= 20 %),

определяется величина t_p:

Если допустимое значение t_p задано, то

можно вычислить необходимую частоту среза ω_с .

Типы четырех возможных ЛАХ, удовлетворяющих условиям, обозначенным выше, приведены в таблице.

ЛАХ типа А и С соответствуют статическим системам.

ЛАХ типа B и D — астатическим системам с астатизмом первого порядка.

Типовые ЛАЧХ НЧ, СЧ и ВЧ – участков для «достаточно протяженного» СЧ – участка с наклоном – 20 дБ/дек.

Наклоны асимптот ЛАЧХ, дБ/дек

НЧ — участок

Сопряженный участок

СЧ — участок

ВЧ — участок

Рекомендации по выбору частот сопряжения НЧ – участка и СЧ — участка

Для желаемой ЛАЧХ представленной на рисунке примем следующие обозначения:

• протяженность СЧ – участка –

• протяженность участка сопряжения НЧ – участка и СЧ – участка –

Имеется несколько рекомендаций по выбору ω₂ и ω₃.

1. Соотношение частот ω_с , ω₂ и ω₃:

ω₃ = (2…4) ω_с , ω₂ = (ω_с )2 (ω₃) -1 .

2. Постоянная разность частот ω_с , ω₂ и ω₃:

ω_с — ω₂ ≈ ω₃ — ω_с ≈ 0,5 … 0,9 дек.

3. Ограничение на абсолютные величины L(ω₂) и L(ω₃):

Абсолютные величины L(ω₂) и L(ω₃) должны быть не ниже 12 … 16 дБ.

Длина участка h₁

ЛАЧХ типа «А»

ЛАЧХ типа «В»

ЛАЧХ типа «С»

ЛАЧХ типа «D»

Если качество регулирования системы оценивается по величине показателя колебательности М, то для определения протяженности участков h и h₁ можно воспользоваться данными, приведенными в таблице.

Выбор граничных частот среднечастотного участка согласно приведенным рекомендациям дает несколько различные результаты.

При окончательном их выборе следует исходить из того, что чем шире интервал частот (ω₂; ω₃), тем лучше будет переходный процесс.

Однако практическая реализация желаемой ЛАХ при этом усложняется и, кроме того, излишняя протяженность среднечастотного участка снижает динамичность системы.

Построение ЛАЧХ в высокочастотном диапазоне (ВЧ – участок)

Вид желаемой ЛАХ в высокочастотном диапазоне определяет, например, такой показатель, как помехоустойчивость системы, но на качество регулирования поведение L_ж(ω) в этой частотной области ЛАХ влияет незначительно.

Поэтому на ВЧ – участке с целью упрощения корректирующего звена допустимо совпадение наклонов асимптот желаемой ЛАХ и ЛАХ исходной нескорректированной системы.

Завершив построение желаемой ЛАХ разомкнутой системы, необходимо определить соответствующую ей фазо-частотную характеристику φ_ж(ω), и проверить наличие необходимого запаса устойчивости системы по амплитуде ΔL и по фазе Δ φ.

Если указано, что коррекцию системы необходимо провести по заданному значению колебательности М, то необходимо построить запретную зону для φ_ж(ω).

Границы запретной зоны называются μ — кривыми. Запретная зона строится в частотном диапазоне, в котором

Максимальное значение запаса по фазе соответствует частоте при которой:

Величина запретной зоны возрастает при уменьшении М.

Если фазо-частотная характеристика φ_ж(ω) заходит в запретную зону, то фактическая величина показателя колебательности М превышает максимально допустимое значение М_доп.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика

Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ) — представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе.

ЛАФЧХ строится в виде двух графиков: логарифмической амплитудно-частотной характеристики и фазо-частотной характеристики, которые обычно располагаются друг под другом.

Анализ систем с помощью ЛАФЧХ весьма прост и удобен, поэтому находит широкое применение в различных отраслях техники, таких как цифровая обработка сигналов, электротехника и теория управления.

Содержание

Названия

В западной литературе используется название диаграмма Боде или график Боде, по имени выдающегося инженера Хенрика Боде (англ. Hendrik Wade Bode ).

В инженерных кругах название обычно сокращается до ЛАХ.

В пакете прикладных программ для инженерных вычислений bode.

Использование

Свойства и особенности

Если передаточная функция системы является рациональной, тогда ЛАФЧХ может быть аппроксимирована прямыми линиями. Это удобно при рисовании ЛАФЧХ вручную, а также при составлении ЛАФЧХ простых систем.

С помощью ЛАФЧХ удобно проводить синтез систем систем управления, а также цифровых и аналоговых фильтров: в соответствии с определёнными критериями качества строится желаемая ЛАФЧХ, аппроксимированная с помощью прямых линий, которая затем разбивается на ЛАФЧХ отдельных элементарных звеньев, из которых восстанавливается передаточная функция системы (регулятора) или фильтра.

На графике ЛАЧХ абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложена амплитуда передаточной функции в децибелах.

Представление АЧХ в логарифмическом масштабе упрощает построение характеристик сложных систем, так как позволяет заменить операцию перемножения АЧХ звеньев сложением, что вытекает из свойства логарифма: $ \lg(a \cdot b) = \lg(a) + \lg(b) » width=»» height=»» />. На графике фазо-частотной характеристики абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложен фазовый сдвиг выходного сигнала системы относительно входного (обычно в градусах). Также возможен вариант, когда по оси ординат откладывается фазовый сдвиг в логарифмическом масштабе, в этом случае характеристика будет называться ЛФЧХ. <h5>Случай минимально-фазовых систем</h5> Амлитуда и фаза системы редко меняются независимо друг от друга — при изменении амплитуды меняется и фаза и наоборот. Для минимально-фазовых систем ЛФЧХ и ЛАЧХ могут быть однозначно определены друг из друга с помощью преобразования Гильберта. <h4>Построение ЛАФЧХ</h4> Основная идея основывается на следующем математическом правиле сложения логарифмов. Если передаточную функцию можно представить в виде дробно-рациональной функции <img decoding=$

После разбиения передаточной функции на элементарные звенья можно построить ЛАФЧХ каждого отдельного звена, а результирующую ЛАФЧХ получить простым сложением.

Аппроксимация ЛАЧХ прямыми линиями

При построении ЛАЧХ для оси ординат обычно используется масштаб $ 20 \cdot \operatorname<lg>(X)» width=»» height=»» />, то есть значение АЧХ, равное 100 превращается в 40 децибел шкалы ЛАЧХ. Если передаточная функция имеет вид: <img decoding=$ — комплексная переменная, которую можно связать с частотой, используя следующую формальную замену: 
<ul>
<li>в каждом <img decoding= , где $\omega\ = x_n$ (нуль), наклон линии увеличивается на $(20 \cdot a_n)$ дБ на декаду.

в каждом $\ s$ , где $\omega\ = y_n$ (полюс), наклон линии уменьшается на $(20 \cdot b_n)$ дБ на декаду.

Начальное значение графика можно найти простой подстановкой значения круговой частоты $\omega\$ в передаточную функцию.

Начальный наклон графика зависит от числа и порядка нулей и полюсов, которые меньше начального значения частоты. Он может быть найден с помощью первых двух правил.

Корректировка аппроксимированной ЛАЧХ

Для корректировки ЛАЧХ, аппроксимированную прямыми линиями надо:

в каждом нуле поставить точку на $3 \cdot a_n\$ дБ выше линии ( $6 \cdot a_n\$ дБ для двух комплексно-сопряжённых нулей)

в каждом полюсе поставить точку на $3 \cdot a_n\$ дБ ниже линии ( $6 \cdot a_n\$ дБ для двух комплексно-сопряжённых полюсов)

плавно соединить точки, используя прямые линии в качестве асимптот

Аппроксимация ФЧХ

Для построения аппроксимированной ФЧХ используют запись передаточной функции в том же виде, что и для ЛАЧХ:

$H(s) = A \prod \frac<(s + x_n)^<a_n>><(s + y_n)^<b_n>> » width=»» height=»» /> Основной принцип построения ФЧХ — начертить отдельные графики для каждого полюса или нуля, затем сложив их. Точная кривая фазо-частотной характеристики задаётся уравнением: <img decoding=$ положительно, начать линию (с нулевым наклоном) в 0 градусов,

если $\ A$ отрицательно, начать линию (с нулевым наклоном) в 180 градусов,

для нуля сделать наклон линии вверх на $45 \cdot a_n$ ( $90 \cdot b_n$ для комплексно сопряжённого) градусов на декаду начиная с $\omega = \frac<x_n><10>» width=»» height=»» />,</li> <li>для полюса наклонить линию вниз на <img decoding=$ ( $90 \cdot b_n$ для комплексно сопряжённого) градусов на декаду начиная с $\omega = \frac<y_n><10>» width=»» height=»» />,</li> <li>обнулить наклон снова когда фаза изменится на <img decoding=$ градусов для простого нуля или полюса и на $180 \cdot a_n$ градусов для комплексно-сопряжённого нуля или полюса,

сложить все линии и нарисовать результирующую.

Анализ устойчивости по ЛАФЧХ

ЛАФЧХ некоторых элементарных звеньев

$\ s$

Ниже представлена таблица, в которую помещены передаточные функции и ЛАФЧХ некоторых типовых элементарных звеньев. Большая часть линейных стационарных систем может быть представлена в виде соединения таких звеньев. В таблице — комплексная переменная.

Примечания

↑Интегратор
↑Дифференциатор

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Логарифмическая фазовая частотная характеристика» в других словарях:

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика — ЛАФЧХ фильтра Баттерворта первого порядка Логарифмическая амплитудно фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ) представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе. ЛАФЧХ строится в виде двух графиков:… … Википедия

Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика — ЛАФЧХ фильтра Баттерворта первого порядка Логарифмическая амплитудно фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ) представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе. ЛАФЧХ строится в виде двух графиков:… … Википедия

ЛФЧХ — логарифмическая фазовая частотная характеристика матем … Словарь сокращений и аббревиатур

Логарифм — График двоичного логарифма Логарифм числа … Википедия

Регулятор (теория управления) — У этого термина существуют и другие значения, см. Регулятор. Регулятор в теории управления устройство, которое следит за работой объекта управления как системы и вырабатывает для неё управляющие сигналы. Регуляторы следят за изменением некоторых… … Википедия

ЛАФЧХ — фильтра Баттерворта первого порядка Логарифмическая амплитудно фазовая частотная характеристика … Википедия

Диаграмма Боде — ЛАФЧХ фильтра Баттерворта первого порядка Логарифмическая амплитудно фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ) представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе. ЛАФЧХ строится в виде двух графиков:… … Википедия

ЛАХ — ЛАФЧХ фильтра Баттерворта первого порядка Логарифмическая амплитудно фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ) представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе. ЛАФЧХ строится в виде двух графиков:… … Википедия

ЛАЧХ — ЛАФЧХ фильтра Баттерворта первого порядка Логарифмическая амплитудно фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ) представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе. ЛАФЧХ строится в виде двух графиков:… … Википедия

ЛФЧХ — ЛАФЧХ фильтра Баттерворта первого порядка Логарифмическая амплитудно фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ) представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе. ЛАФЧХ строится в виде двух графиков:… … Википедия

Передаточная функция

Пример . Объект управления (ОУ) описывается линейным дифференциальным уравнением третьего порядка:
(2)
1) Передаточная функция ОУ в общем случае может быть представлена в виде отношения
W(iω) = A(ω)e iφ(ω) = U(ω) + iV(ω),
где R(p)и Q(p) – изображения по Лапласу выходной и входной переменных ОУ, соответствующих левой и правой частям уравнения 1. Отсюда, передаточная функция будет иметь вид:
(3)
или
. (4)

2) Определим частотные характеристики ОУ. Известно, что частотная передаточная функция W(ω) может быть представлена в виде:
, (5)
где A(ω) – амплитудная частотная характеристика (АЧХ);
φ(ω) – фазовая частотная характеристика (ФЧХ);
U(ω) – вещественная частотная характеристика (ВЧХ);
V(ω) – мнимая частотная характеристика;
Подставим iω в выражение (3) вместо p . Получим:
(6)
На основе выражений (5) и (6) выделим отдельно амплитудную и фазовую частотные характеристики и подставим численные значения коэффициентов. Исходя из того, что:
A(ω) = |W(iω)|
φ(ω) = arg(W(iω))
(см. комплексные числа). Окончательно получим: (7)

3) Определим логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ).
Известно, что ЛАЧХ определяется из соотношения:
L(ω) = 20lg(A(ω)) (8)
Данная характеристика имеет размерность дБ (децибелы) и показывает изменение отношения мощностей выходной величины к входной. Для удобства ЛАЧХ строят в логарифмическом масштабе.
Фазовая частотная характеристика, построенная в логарифмическом масштабе, будет называться логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ).
Примеры построения ЛАЧХ и ЛФЧХ для наших исходных данных приведены на рисунке 1.
Определим импульсную переходную (весовую) функцию. Весовая функция w(t) представляет собой реакцию системы на единичную импульсную функцию, поданную на ее вход. Весовая функция связана с передаточной функцией преобразованием Лапласа.
. (9)
Следовательно, весовую функцию можно найти, применив обратное преобразование Лапласа к передаточной функции.
w(t) = L -1 [W(p)] (10)

Рисунок 1 — L(ω) – ЛАЧХ системы (Дб); φ(ω) – ЛФЧХ системы (град); ω – частота входного сигнала (рад/с)